3、曲线运动条件的应用

做曲线运动的物体，其轨迹向合外力所指的一方弯曲，若已知物体的运动轨迹，可判断出合外力的大致方向．若合外力为变力，则为变加速运动；若合外力为恒力，则为匀变速运动；

[例10]质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力F₁时，物体可能做(　　 )

A．匀加速直线运动；　　 B．匀减速直线运动；

C．匀变速曲线运动；　　 D．变加速曲线运动。

分析与解：当撤去F₁时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于F₁，方向与F₁方向相反。

若物体原来静止，物体一定做与F₁相反方向的匀加速直线运动。

若物体原来做匀速运动，若F₁与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。

若F₁与初速度不在同一直线上，则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值，故物体做匀变速曲线运动，故C正确，D错误。正确答案为：A、B、C。

[例11]图中实线是一簇未标明方向的由点电荷产生的电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹,a,b是轨迹上的两点．若带电粒子在运动中只受电场力作用，根据此图可作出正确判断的是()

A.带电粒子所带电荷的符号　　　 B.带电粒子在a,b两点的受力方向

C.带电粒子在a,b两点的速度何处较大　 D.带电粒子在a,b两点的电势能何处较大

解析：由图中的曲线可以看出，不管带电粒子由a→b还是由b→a，力的方向必然指向左下方，从而得到正确答案：BCD

思考：若实线为等势线，该题又该如何分析

[例12] 如图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，oy表示竖直向上方向。该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿oy方向竖直向上抛出，初动能为4J，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中M点所示。求：

⑴小球在M点时的动能E₁。⑵在图上标出小球落回x轴时的位置N。⑶小球到达N点时的动能E₂。

解：⑴在竖直方向小球只受重力，从O→M速度由v₀减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v₁，由图知这两个分运动平均速度大小之比为2∶3，因此v₀∶v₁=2∶3，所以小球在M点时的动能E₁=9J。

⑵由竖直分运动知，O→M和M→N经历的时间相同，因此水平位移大小之比为1∶3，故N点的横坐标为12。

⑶小球到达N点时的竖直分速度为v₀，水平分速度为2v₁，由此可得此时动能E₂=40J。

　　　　　　　 平抛物体的运动

知识简析 一、平抛物体的运动

2、小船渡河问题分析

[例9]一条宽度为L的河，水流速度为v_s，已知船在静水中的航速为v_c，那么，(1)怎样渡河时间最短？(2)若v_s＜v_c怎样渡河位移最小？(3)若v_s＞v_c，怎样渡河船漂下的距离最短？

分析与解：(1)如图2甲所示，设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V₁=V_csinθ,渡河所需时间为：.

可以看出：L、V_c一定时，t随sinθ增大而减小；当θ=90⁰时，sinθ=1,所以，当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，.

(2)如图2乙所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度V的方向与河岸垂直。这是船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ。根据三角函数关系有：V_ccosθ─V_s=0.

所以θ=arccosV_s/V_c,因为0≤cosθ≤1,所以只有在V_c>V_s时，船才有可能垂直于河岸横渡。

(3)如果水流速度大于船上在静水中的航行速度，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游。怎样才能使漂下的距离最短呢？如图2丙所示，设船头V_c与河岸成θ角，合速度V与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以V_s的矢尖为圆心，以V_c为半径画圆，当V与圆相切时，α角最大，根据cosθ=V_c/V_s,船头与河岸的夹角应为：θ=arccosV_c/V_s.

船漂的最短距离为：.　 此时渡河的最短位移为：.

思考：①小船渡河过程中参与了哪两种运动？这两种运动有何关系？

②过河的最短时间和最短位移分别决定于什么？

3.重点掌握的两种情况：一是加速度大小、方向都不变的曲线运动，叫匀变曲线运动，如平抛运动；另一是加速度大小不变、方向时刻改变的曲线运动，如匀速圆周运动．

规律方法　 1、运动的合成与分解的应用

合运动与分运动的关系：满足等时性与独立性．即各个分运动是独立进行的，不受其他运动的影响，合运动和各个分运动经历的时间相等，讨论某一运动过程的时间，往往可直接分析某一分运动得出．

[例2]小船从甲地顺水到乙地用时t₁，返回时逆水行舟用时t₂，若水不流动完成往返用时t₃，设船速率与水流速率均不变，则(　　　 )

　 A．t₃＞t₁+t₂ ；　 B．t₃＝t₁+t₂；　 C．t₃＜t₁+t₂ ；　 D．条件不足，无法判断

解析：设船的速度为V，水的速度为v₀，则

<故选C

[例3]如图所示，A、B两直杆交角为θ，交点为M，若两杆各以垂直于自身的速度V₁、V₂沿着纸面运动，则交点M的速度为多大？

　 解析：如图所示，若B杆不动，A杆以V₁速度运动，交点将沿B杆移动，速度为V，V=V₁／sinθ．若A杆不动，B杆移动时，交点M将沿A杆移动，速度为V，V=V₂／sinθ．两杆一起移动时，交点M的速度v_M可看成两个分速度V和V的合速度，故v_M的大小为v_M==

[例4]玻璃板生产线上，宽9m的成型玻璃板以4m／s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻的走刀速度为8m／s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道应如何控制？切割一次的时间多长？

　解析：要切成矩形则割刀相对玻璃板的速度垂直v，如图设v_刀与v_玻方向夹角为θ，cosθ=v_玻/v_刀=4/8，则θ=30⁰。v===4m/s。时间t=s/v=9/4=2·45s

[例5]如图所示的装置中，物体A、B的质量m_A＞m_B。最初，滑轮两侧的轻绳都处于竖直方向，若用水平力F向右拉A，起动后，使B匀速上升。设水平地面对A的摩擦力为f,绳对A的拉力为T，则力f,T及A所受合力F_合的大小()

A.F_合≠O,f减小，T增大；B.F_合≠O,f增大，T不变；

C. F_合＝O,f增大，T减小；D. F_合＝O,f减小，T增大；

分析:显然此题不能整体分析。B物体匀速上升为平衡状态，所受的绳拉力T恒等于自身的重力，保持不变。A物体水平运动，其速度可分解为沿绳长方向的速度(大小时刻等于B物体的速度)和垂直于绳长的速度(与B物体的速度无关)，写出A物体速度与B物体速度的关系式，可以判断是否匀速，从而判断合力是否为零。

解：隔离B物体：T=m_Bg，保持不变。隔离A物体：受力分析如图所示，设绳与水平线夹角为θ，则：

①随A物体右移，θ变小，由竖直平衡可以判断支持力变大。由f=μN，得f变大。

②将A物体水平运动分解如图所示，有v_B＝v_Acosθ，故随θ变小，cosθ变大，V_B不变，V_A变小，A物体速度时时改变，必有F_合≠O。

所得结论为：F_合≠O，f变大，T不变。B项正确。

[例6]两个宽度相同但长度不同的台球框固定在水平面上，从两个框的长边同时以相同的速度分别发出小球A和B，如图所示，设球与框边碰撞时无机械能损失，不计摩擦，则两球回到最初出发的框边的先后是(　　 )

A. A球先回到出发框边　　　 B球先回到出发框边

C.两球同时回到出发框边　　　 D.因两框长度不明，故无法确定哪一个球先回到出发框边

解析：小球与框边碰撞无机械能损失，小球每次碰撞前后的运动速率不变，且遵守反射定律。以A球进行分析，如图。

小球沿AC方向运动至C处与长边碰后，沿CD方向运动到D处与短边相碰，最后沿DE回到出发边。经对称得到的直线A^/CDE^/的长度与折线ACDE的总长度相等。

框的长边不同，只要出发点的速度与方向相同，不论D点在何处，球所通过的总路程总是相同的，不计碰撞时间，故两球应同时到达最初出发的框边。答案：C

也可用分运动的观点求解：小球垂直于框边的分速度相同，反弹后其大小也不变，回到出发边运动的路程为台球桌宽度的两倍，故应同时回到出发边。

[例7]如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v向左运动时，系A,B的绳分别与水平方向成a、β角，此时B物体的速度大小为　　　　　　 ，方向水平向右

解析：根据A,B两物体的运动情况，将两物体此时的速度v和v_B分别分解为两个分速度v₁(沿绳的分量)和v₂(垂直绳的分量)以及v_B1(沿绳的分量)和v_B2(垂直绳的分量)，如图，由于两物体沿绳的速度分量相等，v₁＝v_B1，vcosα＝v_Bcosβ.

则B物体的速度方向水平向右，其大小为

[例8]一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度V₀匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。

解析：设竖直杆运动的速度为V₁，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V₀、V₁在OP方向的投影相等，即有　 ，解得V₁=V₀.tgθ.

2．物体做一般曲线运动的条件：运动物体所受的合外力(或加速度)的方向跟它的速度方向不在同一直线上(即合外力或加速度与速度的方向成一个不等于零或π的夹角)．

说明：当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大，当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小。

1．曲线运动是指物体运动的轨迹为曲线；曲线运动的速度方向是该点的切线方向；曲线运动速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动．

(1)等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等．

(2)独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，各个分运动独立进行，互不影响．

(3)等效性:合运动和分运动是等效替代关系，不能并存；

(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则。

[例1]如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以 (SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做

(A)速度大小不变的曲线运动．　 (B)速度大小增加的曲线运动．

(C)加速度大小方向均不变的曲线运动．

(D)加速度大小方向均变化的曲线运动． 答案：B C

4．速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解，常用的思想方法有两种：一种思想方法是先虚拟合运动的一个位移，看看这个位移产生了什么效果，从中找到运动分解的办法；另一种思想方法是先确定合运动的速度方向(物体的实际运动方向就是合速度的方向)，然后分析由这个合速度所产生的实际效果，以确定两个分速度的方向．

3．将速度正交分解为 v_x＝vcosα和v_y=vsinα是常用的处理方法．

2．运动分解也遵循矢量运算的平行四边形定则．

1．已知合运动求分运动叫运动的分解．