2．

说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念．

证明函数的在一点处连续

例 　证明：若函数在点处可导，则函数在点处连续．

分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明在点处连续，必须证明．由于函数在点处可导，因此，根据函数在点处可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式(变为导数定义形式)的转化．

解：证法一：设，则当时，，

∴函数在点处连续．

证法二：∵函数在点处可导，

∴在点处有

∴∴函数在点处连续．

说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，正确运用转化思想来解决问题．函数在点处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限．反之则不一定成立．证题过程中不能合理实现转化，而直接理解为是使论证推理出现失误的障碍．

2．求函数(a、b为常数)的导数．

分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法，确定函数在处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法．

解：1．解法一(导数定义法)：，

解法二(导函数的函数值法)：，

∴

3．(含)，

∴

故选A．

说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因．解决这类问题的关键就是等价变形，使问题转化．

利用定义求导数

例　 1．求函数在处的导数；

2．原式＝

3．若，则等于(　 )

A．－1　 B．－2　 C．－1　 D．

分析：在导数的定义中，增量的形式是多种多样的，但不论选择哪种形式，也必须选择相对应的形式．利用函数在点处可导的条件，可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式．

解：1．原式＝

2．

1．；

2．

两边都是关于x的可导函数，求导得

，

令，得，

即

说明：通过对数列的通项进行联想，合理运用了逆向思维的方法，从而激发了思维的灵活性，使数列的求和问题获得解决，其关键是抓住了数列通项的形式结构．学生易犯的错误是受思维定式的影响不善于联想．

2．

分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决．转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更加简洁明快．

解：1．当时，

当时，

，

两边都是关于x的函数，求导得

，

即

1．