Question

四个不同的三位数，它们的百位数字相同，并且其中有三个数能整除这四个数的和．求这四个数．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：设这4个数分别为A、B、C、D，和为S，S能被A、B、C整除，设S÷A=K₁，S÷B=K₂，S÷C=K₃，并设A＜B＜C，则K₁＞K₂＞K₃（K₁、K₂、K₃均为整数）．然后通过推理论证，求出K值，进而求出A、B、C、D的值，解决问题．

解答： 解：设这4个数分别为A、B、C、D，和为S，S能被A、B、C整除，设S÷A=K₁，S÷B=K₂，S÷C=K₃，并设A＜B＜C，则K₁＞K₂＞K₃（K₁、K₂、K₃均为整数）．下面我们说明K₁≤6，K₃≥3．如果K₁＞6，设为7，即设S÷A=7，A=

1

7

S，B+C+D=S-A=

6

7

S，
B、C、D中至少有一个不小于

2

7

S，这与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以K₁≤6；同样地，如果K₃＜3，设为2，即C=

1

2

S，则A+B+D=S-C=

1

2

S，A、B、D中至少有一个不大于

1

6

S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，所以K₃≥3．又因为A、B、C、D不相同，即K₁、K₂、K₃只能是5、4、3或6、5、4，但当K₁=6、K₂=5、K₃=4时，D=S-（A+B+C）=S-（

S

6

+

S

5

+

S

4

）=

23

60

S，也与A、B、C、D的百位数字相同相矛盾，
所以，K₁、K₂、K₃只能是5、4、3．此时，S必为3×4×5=60的倍数．设S=60K，则A=12K，B=15K，C=20K，D=13K，但A、B、C、D为百位数字相同的三位数，故K=9，即A=108，B=135，C=180，D=117．
答：这四个数为：108，135，180，117．

点评：此题解答起来较复杂，通过设数与推理论证，逐步解决问题．