Question

【题目】对于由1至6组成的无重复数字的六位数，如果它的首位数字不是1，那么可以进行如下的1次操作：记首位数字为足，则将数字尼与第七位上的数字对换，例如，245136可以进行两次操作：245136→425136→125436．请问：可以进行5次操作的六位数有多少个？

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，因为第一次交换的是第六位，所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；然后分类讨论，求出可以进行5次操作的六位数有多少个即可．

解：它的首位数字不是1，是1的话没有继续操作的可能，

它的首位既然不能是1，不妨首位数字分别是6、5、4、3、2，

A、首位是6：形如：6﹣﹣﹣﹣﹣，

因为第一次交换的是第六位，

所以第六位不能是1，只能是5、4、3、2其中的一个，

因此有四种情况：6﹣﹣﹣﹣5，6﹣﹣﹣﹣4，6﹣﹣﹣﹣3，6﹣﹣﹣﹣2；

A1：6﹣﹣﹣﹣5时，（仅举四种情况之一）

因为第二次交换的是第五位，

所以第五位不能是1，只能是4、3、2其中的一个，

因此原数有6﹣﹣﹣45，6﹣﹣﹣35，6﹣﹣﹣25三种情况；

A11：6﹣﹣﹣45时，（仅举三种情况之一）

因为第三次交换第四位，

所以第四位不能是1，只能是3、2其中的一个，

因此有：6﹣﹣345；6﹣﹣245二种情况；

A111：6﹣﹣345时，（仅举两种情况之一）

因为第四次交换第三位，

所以第三位不能是1，只能是2，

因此有：6﹣2345一种情况；

第二位只能是1：即612345，

第五次交换第二位，结果是162345；

综上，以6开头的六位数，要能进行五次操作：这样的数共有：

4×3×2×1=24（个），

而开头的数字可以是2、3、4、5、6这五个数字之一，

故可以进行5次操作的六位数共有：5×4×3×2×1=120（个）．

答：可以进行5次操作的六位数有120个．