Question

如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），点B的位置表示为（10，2），点C的位置表示为（10，5），将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB₁C₁．
（1）在正方形网格中，作出△AB₁C₁，并用有序数对表示出B1、C1的位置；
（2）求点B旋转到B1所经过的路线长；
（3）设网格小正方形的边长为1cm，用阴影表示出旋转过程中线段BC所扫过的图形，然后求出它的面积．（结果保留π）

Answer 1

分析：（1）让三角形的顶点B、C都绕点A逆时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可；再根据数对表示数的方法：第一个数表示列，第二个数表示行，写出B1、C1的位置即可．
（2）旋转过程中点B所经过的路线是一段弧，根据弧长公式计算即可．
（3）阴影部分的面积等于扇形ACC₁与△ABC的面积和减去扇形ABB₁与△AB₁C₁，而△ABC与△AB₁C₁的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形ACC₁减去扇形ABB₁的面积．

解答：解：（1）如图所示：

三角形AB1C1即为所求，B1的位置为：（6，6）；C1的位置为：（3，6）；

（2）从图中可看出这段弧的圆心角是90°，因为是直角三角形，由勾股定理得：AC=

9+16

=5，
所以点B旋转到B1所经过的路线长为：

90π×5

180

=

5π

2

；
答：点B旋转到B1所经过的路线长

5

2

π．

（3）如图所示：
，
黄色阴影部分即为旋转过程中线段BC所扫过的图形，
线段BC所扫过的图形如图所示．
根据网格图知：AB=4，BC=3，所以AC=5，
阴影部分的面积等于扇形ACC₁与△ABC的面积和减去扇形ABB₁与△AB₁C₁，
故阴影部分的面积等于扇形ACC₁减去扇形ABB₁的面积，两个扇形的圆心都是90度．
段BC所扫过的图形的面积S=

1

4

π（AC²-AB²）=

1

4

π×（5²-4²）=

9

4

π．
答：旋转过程中线段BC所扫过的图形的面积是

9

4

π．

点评：（1）解决本题的关键是找出关键点．
（2）（3）本题利用了勾股定理，弧长公式、圆的面积公式求解．