Question

8．选择合适的策略解决问题．

小正方形的边长是1cm，依次作出如上图所示的图形，图中第一个图形的周长是10cm．
（1）第三个图形是由16个正方形组成，它的周长是22cm．
（2）周长是46的图形是第7个图形，它是由64个正方形组成的．
②有一个数列为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
那么自然数2005在这个数列中吗？若在，它是第几个？若不在，请说明理由．

Answer 1

分析 ①首先找出规律：第1个图形周长：10=4+6×1，
第2个图形周长：16=4+6×2，
第3个图形周长：22=4+6×3，
…
故第n个图形周长：4+6n；
第1个图形正方形个数：1+3=4=2×2，
第2个图形正方形个数：1+3+5=9=3×3，
第3个图形正方形个数：1+3+5+7=16=4×4，
…
故第n个图形正方形个数：（n+1）×（n+1）．
②这个数列是一个等差数列：首项是1，公差是3，求末项，根据等差数列公式：末项=首项+公差×（项数-1）；代入数据解答即可．

解答 解：①（1）（n+1）×（n+1）
=（3+1）×（3+1）
=4×4
=16
4+6n
=4+6×3
=4+18
=22（cm）
答：第三个图形是由 16个正方形组成，它的周长是 22cm．

（2）4+6n=46
     6n=46-4
     6n=42
      n=7
（n+1）×（n+1）
=（7+1）×（7+1）
=8×8
=64
答：周长是46的图形是第7个图形，它是由64个正方形组成的．

②根据等差数列公式：末项=首项+公差×（项数-1）可得：
2005=1+（n-1）×3
2005=1+3n-3
  3n=2007
  n=669
答：自然数2005在这个数列中，它是第669个．

点评 ①此题关键是从简单的情形入手分析，找出周长计算规律和拼凑图形个数的规律，进一步利用规律解决问题．
②本题考查了高斯求和公式的灵活应用应用，相关的知识点是：和=（首项+末项）×项数÷2；首项=末项-公差×（项数-1）；末项=首项+公差×（项数-1）；项数=（末项-首项）÷公差+1．