Question

若a，b，c，d，e，f，p，q是阿拉伯数字，且b＞c＞d＞a．四位数

.

cdab

与

.

abcd

之差是一个形如

.

pqef

的四位数，若

.

ef

是一个完全平方数，

.

pq

不能被5整除，试求四位数

.

abcd

，并简述理由．

Answer 1

考点：完全平方数性质

专题：传统应用题专题

分析：四位数

.

cdab

═

.

cd

×10²+

.

ab

，

.

abcd

=

.

ab

×10²+

.

cd

，

.

pqef

的四位数=

.

pq

×100+

.

ef

，根据题意及其计算知道：

.

pq

若

.

ef

+=99，再根据题意推出a，b，c，d分别代表哪个数字即可．

解答： 解：因为

.

pqef

=

.

cdab

-

.

abcd

=（

.

cd

×10²+

.

ab

）-（

.

ab

×10²+

.

cd

）
=99（

.

cd

-

.

ab

），
即

.

pq

×100+

.

ef

=99（

.

cd

-

.

ab

）
=

.

pq

×99+（

.

pq

+

.

ef

）=99（

.

cd

-

.

ab

），
所以

.

pq

：+

.

ef

=99．
由题意知：

.

ef

≤81，0＜

.

pq

+

.

ef

＜200，
由于

.

pq

不是5的倍数，所以q不是0，5．因此f不是9，4．由数

.

cdab

-

.

abcd

=

.

pqef

，b＞c＞d，
所以：个位数字 f=b-d≥2．
因此，完全平方数

.

ef

的末位数字f只能取5或6．注意减法算式

.

pqef

=

.

cdab

-

.

abcd

中，b＞c＞d＞a，知c≤8，a≥1，所以c-a≤7．但在百位上d＜b，作减法时要向千位借1，所以
1≤p=（c-1）-a＜7-1=6．
但由

.

pq

+

.

ef

=99知e≥9-p=9-6=3，因此得知两位的平方数

.

ef

=36，即

.

pqef

=6336．
这时，在

.

cdab

-

.

abcd

=6336的算式中，显然有b-d=6，c-a=7，根据b＞c＞d＞a，只能有c=8，a=1，b=9，d=3．
所以，所求的数

.

abcd

=1983．

点评：此题主要考查了完全平方数的性质，根据已知的出

.

pq

+

.

ef

=99．是解决问题的关键．