Question

有一个长长的纸条，里面有37个方格，要求在每个方格里填入一个自然数，从1到37，既不重复，也不遗漏．
但数字不能随便乱填，有一项特殊要求：第1个数能被第2个数整除，第1个数与第2个数之和能被第3个数整除；第1、2、3个数之和能被第4个数整除，…这个规律一直要保持下去，直到前面36个数的和能被最后一个数整除为止．

37

…

？

如果第一个方格内已填入37，那么最后一个方格中填

 

．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：题目要求前面36个数的和能被最后一个数整除，而1+2+…+36+37=1×19×37．假设最后一个数填n，那么，前面36个数的和等于1×19×37-n，所以，为了让前面36个数的和1×19×37-n能被最后一个数整除，就要求1×19×37中含有n，这样，最后一格可填1或19或37，然后讨论即可．

解答： 解：因为题目要求前面36个数的和能被最后一个数整除，而1+2+…+36+37=1×19×37．
假设最后一个数填n，
那么，前面36个数的和等于：1×19×37-n，
所以，为了让前面36个数的和1×19×37-n能被最后一个数整除，就要求1×19×37中含有n，这样，最后一格可填1或19或37． 
但第一个数已经填了37，而且第一个数能被第二个数整除，这样，第二个数只能填1．
所以，最后一个方格中的可填的数是只能是19．
也就是：37、1、…、19．
故答案为：19．

点评：本题结合逆推问题考查了整除问题，关键是先从这37个数的和作为突破口来解答．