Question

在4×4的方格表中的每个小方格内填一个数1或2．若任意一个3×3的方格表（共4个）中的9个数字之和能被4整除，而所有小方格内的16个数字之和不能被4整除，这16个数字之和的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

考点：最大与最小

专题：整除性问题

分析：根据题意，4×4的方格表正中间的4个方格是4个3×3的方格表共有的方格；
（1）如果4×4的方格表中的每个小方格内的数字均是2，9×2=18，此时9个数字之和不能被4整除，所以有2个方格内的数字是1时，这16个数字之和最大；
（2）每个3×3的方格表中的9个数字之和的最小值是9，又能被4整除，所以有3个方格内的数字是2时，这16个数字之和最小；

解答： 解：4×4的方格表正中间的4个方格是4个3×3的方格表共有的方格；
（1）如果4×4的方格表中的每个小方格内的数字均是2，9×2=18，
此时9个数字之和不能被4整除，
所以有2个方格内的数字是1时，这16个数字之和最大：
（16-2）×2+2×1=30．

2	2	2	2
2	1	2	2
2	2	1	2
2	2	2	2

（2）每个3×3的方格表中的9个数字之和的最小值是9，又能被4整除，
所以有3个方格内的数字是2时，这16个数字之和最小：
（16-3）×1+3×2=19；

1	1	1	1
1	2	2	1
1	2	1	1
1	1	1	1

故答案为：30、19．

点评：解答此题的关键是分析出4×4的方格表正中间的4个方格是4个3×3的方格表共有的方格．