Question

有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除，请写出这4个数．

Answer 1

考点：整除性质

专题：整除性问题

分析：设这四个数分别为m，n，p，q，且它们的和能被其中的n，p，q整除，n＜p＜q；则

m+n+p+q

n

=1+

m+p+q

n

=N（N为自然数），即

m+p+q

n

=N-1；因为它们的首位数字相同，所以N-1应该大约等于3，又因为n＜p＜q，所以

m+p+q

n

=4；同理，可得

m+n+q

p

=3，

m+n+p

q

=2，解得：4p=5n=3q，由5n=3q，可得2n=3（q-n），因为q和n的首数字相同，所以q-n的最大值为99，即n最大值为148，又因为4p=5n=3q，可得n能被12整除，求出n的值，进而求出m、p、q的值即可．

解答： 解：设这四个数分别为m，n，p，q，且它们的和能被其中的n，p，q整除，n＜p＜q，
则

m+n+p+q

n

=1+

m+p+q

n

=N（N为自然数），
即

m+p+q

n

=N-1；
因为它们的首位数字相同，
所以N-1应该大约等于3，
又因为n＜p＜q，
所以

m+p+q

n

=4；
同理，可得

m+n+q

p

=3，

m+n+p

q

=2，
解得：4p=5n=3q，
由5n=3q，可得2n=3（q-n），
因为q和n的首数字相同，
所以q-n的最大值为99，即n最大值为148，
又因为4p=5n=3q，
可得n能被12整除，故n可以为108，120，132，144；可得p为135，150，…，q为180，200，…
所以n只能取108，从而p=135，q=180，m=117，
即这四个数是108，117，135，180．
答：这四个数是108，117，135，180．

点评：此题主要考查了整除的性质的应用，考查了分析推理能力的应用．