Question

有6个棱长分别是3cm，4cm，5cm的相同的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有一个面是红色的，有的长方体恰有两个面是红色的，有的长方体恰有三个面是红色的，有的长方体恰有四个面是红色的，有的长方体恰有五个面是红色的，还有一个长方体恰有六个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体，分割完毕后，恰好只有一面是红色的小正方体最多有多少个？

Answer 1

分析：要求最多有多少个一面涂色的小正方体，涂色时，就要尽量涂面积最大的长方体的面，然后再根据每个面上一面是红色的小正方体的个数．
（1）一面涂色的面应是长5厘米，宽4厘米的长方形，
（2）两面涂色的面也应是长5厘米，宽4厘米的2个长方形，
（3）三面涂色的面也应是长5厘米，宽4厘米的2个长方形，和一个长4厘米，宽3厘米的长方形，这样比涂长5厘米，宽3厘米的长方形，涂一面的多．
（4）四面涂色的面也应是长5厘米，宽4厘米的2个长方形，和两个长4厘米，宽3厘米的长方形，
（5）五面涂色的面也应是长5厘米，宽4厘米的2个长方形，和两个长4厘米，宽3厘米的长方形，和一个长5厘米，宽3厘米的长方形，
（6）六面涂色的面也应是长5厘米，宽4厘米的2个长方形，和两个长5厘米，宽3厘米的长方形，和两个长4厘米，宽3厘米的长方形．据此解答．

解答：解：（1）一面是红色的正方体上一面涂色的有：
5×4=20（个），
（2）两面涂色的正方体上一面涂色的有：
5×4×2=40（个），
（3）三面涂色的正方体上一面涂色的有：
（5-1）×4×2+（3-1-1）×4，
=4×4×2+1×4，
=32+4，
=36（个），
（4）四面涂色的正方体上一面涂色的有：
（5-1）×（4-1）×2+（3-1-1）×4×2，
=4×3×2+1×4×2，
=24+8，
=32（个），
（5）五面涂色的正方体上一面涂色的有：
（5-1-1）×（4-1）×2+（3-1-1）×（4-1）×2+（5-1-1）×（3-1-1），
=3×3×2+1×3×2+3×1，
=18+6+3，
=27（个），
（6）六面涂色的正方体上一面涂色的有：
（5-1-1）×（4-1-1）×2+（3-1-1）×（4-1-1）×2+（5-1-1）×（3-1-1）×2，
=3×2×2+1×2×2+3×1×2，
=12+4+6，
=22（个），
一共一面涂色的小正方体的个数是：
20+40+36+32+27+22=177（个），
答：恰好只有一面是红色的小正方体最多有177个．

点评：本题的关键是求出每面能切出的一面涂色的个数，和每个长方体涂的是哪个面．