Question

0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，最大的一个是几？

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：要是55的倍数，则必能被5和11整除，即末位必为0或5，然后分情况讨论：
①当末位为0时，由可被11整除的数的规律可知，奇、偶位上的数字差为0或为11的倍数，该数能被11整除，因为4+5+6-1-2-3=9＜11，所以只考虑数字差为0的情况，1+2+3+4+5+6=21，没有可能令两组数的数字差为0，所以末位为0时，没有55的倍数；
②当末位为5时，6+4+3-2-1-0=10＜11，同样只考虑数字差为0的情况．0+1+2+3+4+6=16，每组数为8即可，即0，2，6为一组，1，3，4为一组，最大的排列方式为6431205．

解答： 解：要是55的倍数，因为55=11×5，所以这个数必能被5和11整除，因为能被5整除，所以末位必为0或5，分情况讨论：
①当末位为0时，由可被11整除的数的规律可知，奇、偶位上的数字差为0或为11的倍数，该数能被11整除，因为4+5+6-1-2-3=9＜11，所以只考虑数字差为0的情况，1+2+3+4+5+6=21，没有可能令两组数的数字差为0，所以末位为0时，没有55的倍数；
②当末位为5时，6+4+3-2-1-0=10＜11，同样只考虑数字差为0的情况．0+1+2+3+4+6=16，每组数为8即可，即0，2，6为一组，1，3，4为一组，最大的排列方式为6431205．

点评：此题主要考查了学生对数的整除性的认知掌握情况．关键是根据已知条件确定末位数．