Question

（1）任给4个自然数，请说明：一定有两个数的差是3的倍数；
（2）至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？

Answer 1

考点：抽屉原理

专题：传统应用题专题

分析：（1）如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数．这4个自然数中有2个自然数，它们除以3的余数相同．可以把所有自然数按被3除所得的3种不同的余数0、1、2，分成3类．也就是3个抽屉．任取4个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以3的余数相同，因此这两个数的差一定是3的倍数．
（2）因为余数相同的两数之差一定能被除数整除，此题可以先找出除以7的余数的所有情况分别为：0、1、2、3、4、5、6，这样就可以把它们看做7个抽屉，利用抽屉原理即可解决问题．

解答： 解：（1）如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数．根据这个性质，这4个自然数中有2个自然数，它们除以3的余数相同．
把所有自然数按被3除所得的3种不同的余数0、1、2分成3类．也就是3个抽屉．
任取4个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以3的余数相同，因此这两个数的差一定是3的倍数．
故任取4个自然数，必有两个数的差是3的倍数．
（2）自然数除以7的余数为：0、1、2、3、4、5、6，因此7就把自然数分成了7类，
即：除以7余0、1、2、3、4、5、6，因此，可以把它看成是7个抽屉，
至少要有8个数，才能必然有一个抽屉里有两个数，而这两个数除以7的余数相同，也就是差是7的倍数，
答：根据上述分析，至少有8个数，就能保证其中必有两个数，它们的差是7的倍数．

点评：此题是考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用，利用“余数相同的两数之差一定能被除数整除”这个性质即可解决问题．