Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=2CE，连接DE，F为DE中点，以DF为直角边作等腰Rt△DFG，连接BG，将△DFG绕点D顺时针旋转得△DF′G′，G′恰好落在BG的延长线上，连接F′G，若BG=2，则S△GF′G′=________．

Answer 1

【答案】

【解析】解：如图，作GM⊥BC于M，MG的延长线交AD于N，作DK⊥BG′于K，作KQ⊥DG′于Q，作F′H′BG′于H，BG′交AD于P．

∵BE=2EC，设EC=a，则BE=2a，BC=CD=MN=3a．

∵DG=GE，∠DGE=90°，易证△DGN≌△GEM，设EM=x，则GN=EM=x，GM=DN=CM=a+x，∴x+x+a=3a，∴x=a，∴BM=EM．∵GM⊥BE，∴GB=GE=．

∵GM=2a．EM=a，在Rt△GEM中，可得5a2=20．∵a＞0，∴a=2，∴AB=BC=CD=AD=6，GM=4，CM=DN=4，AN=GN=2，DF=EF=GF=G′F′=，DG=GE=DG′=．

∵△GBM∽△BPA，∴ ，∴，∴AP=PD=3．

由△APB∽△KPD，可得DK=．

∵DG′=DG，DK⊥GG′，∴G′K=GK==.

设BG′交DF′于T，作TR⊥DG′于R．

∵tan∠TG′R= ==，设TR=3k，RG′=4k．∵∠TDR=45°，∴TR=DR=3k，∴7k=，∴k=，∴TG′=5k=.

由△′F′H∽△G′TF′，可得G′H=.在Rt△G′F′H中，F′H= = ，∴S△GG′F′= GG′F′H= ××=.故答案为 ．