Question

【题目】如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接．过点E作交的延长线于点F．若，，则正方形的面积为______．

Answer 1

【答案】16

【解析】

由∠EHC=∠BHF，∠CEH=∠FBH=90°可判定△ECH∽△BFH，从而得到∠ECH=∠BFH；作辅助线可证明四边形ENBM是正方形，根据正方形的性质得EM=EN，由角角边可证明△ENC≌△EMF，得CN=FM；因，可求MB的长度，从而求得CN和BC的长，可求出正方形ABCD的面积．

解：过点E作EN⊥BC，EM⊥AB，分别交BC、AB于N、M两点，

且EF与BC相交于点H．

∵EF⊥CE，∠ABC=90°，∠ABC+∠HBF=180°，

∴∠CEH=∠FBH=90°，

又∵∠EHC=∠BHF，

∴△ECH∽△BFH（AA），

∴∠ECH=∠BFH，

∵EN⊥BC，EM⊥AB，四边形ABCD是正方形，

∴四边形ENBM是正方形，

∴EM=EN，∠ENC=∠EMF=90°，

在△ENC和△EMF中

∴△ENC≌△EMF（AAS）

∴CN=FM，

又∵在正方形ENBM中，

∴MB=BN=1,

∵BF=2

∴MF=CN=1+2=3

∴BC=4

∴正方形ABCD的面积为16

故答案为：16．