Question

【题目】如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分线，

∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四边形ABEF是平行四边形．

∵AB=BE，

∴四边形ABEF是菱形

（2）解：

作PH⊥AD于H，

∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，

∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，

∴AP= AB=2，

∴PH= ，DH=5，

∴tan∠ADP= = ．

【解析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH= ，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．