Question

如图，已知直线AB=10，点O在AB上，射线OC垂直平分线段AB，点P在射线OC上运动，设OP=x．
（1）当x为何值时，△PAB为等边三角形？
（2）当x为何值时，△PAB为等腰三角形？
（3）当x为何值时，△PAB为锐角三角形？
（4）当x为何值时，△PAB为钝角三角形？

Answer 1

考点：等边三角形的判定,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）先求出∠A=60°，再由OP⊥AB，根据三角函数求出OP=PA•sin60°=10×

3

2

=5

3

，即为x的值；
（2）根据线段的垂直平分线的性质容易得出结论；
（3）先求出△PAB为等腰直角三角形的x的值，即可得出结果；
（4）同（3）类似得出结果．

解答：解：（1）当△PAB是等边三角形时，∠A=60°，PA=AB=10，
∵OP⊥AB，
∴OP=PA•sin60°=10×

3

2

=5

3

，
即x=5

3

时，△PAB为等边三角形；
（2）∵OC是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴当x＞0时，△PAB为等腰三角形；
（3）∵OA=OB=5，当OP=5时，
△PAB是等腰直角三角形，
∴当x＞5时，△PAB是锐角三角形；
（4）由（3）得，当0＜x＜5时，△PAB为钝角三角形．

点评：本题考查了等边三角形、等腰三角形的判定；求出△PAB为等边三角形和直角三角形时的x的值是解题的关键．