Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上任意一点，过B作BE⊥AD于点E，过C作CF⊥AD于F．
（1）求证：BE-CF=EF；
（2）若D在BC的延长线上，如图（2），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）如图（1），证明△ABE≌△CAF，得到BE=AF，AE=CF，故EF=BE-CF．
（2）如图（2），证明△ABE≌△CAF，得到BE=AF，AE=CF，故EF=BE+CF．

解答：（1）证明：如图（1）
∵∠BAC=90°，且BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠FAC，
∴∠ABE=∠FAC；
在△ABE与△CAF中，

∠ABE=∠FAC ∠AEB=∠CFA AB=AC

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴EF=BE-CF．
（2）证明：如图（2），
∵∠BAC=90°，且BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠EBA+∠BAE=∠BAE+∠CAF，
∴∠EBA=∠CAF；
在△ABE与△CAF中，

∠ABE=∠FAC ∠AEB=∠CFA AB=AC

，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴BE=AF，AE=CF，
∴EF=BE+CF．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入观察图形结构特点，准确找出图形中隐含的相等或全等关系．