【题目】如图,是
的直径,点
为
的中点,
为
的弦,且
,垂足为
,连接
交
于点
,连接
,
,
.
(1)求证:;
(2)若,求
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)根据点为
的中点和垂径定理可证CD=BF,再利用
即可证得结论;
(2)解法一:连接,设
的半径为
,由
列出关于
的方程就能求解;
解法二:如图,作辅助线,构建角平分线和全等三角形,证明,得
,再证明
,得
,进而可得
和
的长,易证
,列比例式可求得
的长,也就是
的长;
解法三:连接,根据垂径定理和三角形的中位线定理可得
,再证明
,然后利用勾股定理即可求出结果.
证明:(1)∵是
的中点,∴
,
∵是
的直径,且
,∴
,
∴,∴
,
在和
中,
∵,
∴;
(2)解法一:如图,连接,设
的半径为
,
中,
,即
,
中,
,即
,
∵,∴
,∴
,
∴,
即,
解得:(舍)或3,
∴,
∴;
解法二:如图,过作
交AD延长线于点
,连接
、
,
∵,∴
,
∵,∴
,
∵,∴
,
∴,
∵,
,
∴,
∴,∴
,∴
,
∵是
的直径,∴
,∴
,
∵,∴
,
∴,
∴,
∴.
解法三:如图,连接,交
于
,
∵是
的中点,∴
,∴
,
∵,∴
,
∵,
,
,
∴,
∴,
,
∴,
∴.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2).
(1)画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1;
(2)以原点O为位似中心,相似比为1∶2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出点C2的坐标.
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【题目】如图①所示,已知正方形ABCD和正方形AEFG,连接DG,BE.
(1)发现:当正方形AEFG绕点A旋转,如图②所示.
①线段DG与BE之间的数量关系是 ;
②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ;
(2)探究:如图③所示,若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形,且AD=2AB,AG=2AE时,上述结论是否成立,并说明理由.
(3)应用:在(2)的情况下,连接BG、DE,若AE=1,AB=2,求BG2+DE2的值(直接写出结果).
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【题目】如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象,其顶点坐标为M(1,﹣4)
(1)求出图象与x轴的交点A、B的坐标;
(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使S△PAB=S△MAB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知二次函数y=x2+2x+3.
(1)求函数图象的顶点坐标,并画出这个函数的图象;
(2)根据图象,直接写出:
①当函数值y>0时,自变量x的取值范围;
②当2<x<2时,函数值y的取值范围.
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【题目】如图1,抛物线交
正半轴于点
,将抛物线
先向右平移3个单位,再向上平移3个单位得到抛物线
,
与
交于点
,直线
交
于点
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点是抛物线
上
间的一点,作
轴交抛物线
于点
,连接
,
.设点
的横坐标为
,当
为何值时,使
的面积最大,并求出最大值;
(3)如图2,将直线向下平移,交抛物线
于点
,
,交抛物线
于点
,
,则
的值是否为定值,证明你的结论.
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【题目】如图,AE、BE是△ABC的两个内角的平分线,过点A作AD⊥AE.交BE的延长线于点D.若AD=AB,BE:ED=1:2,则cos∠ABC=_____.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.任意给定一个正方形,一定存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的一半
B.任意给定一个正方形,一定存在另一个正方形,它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍
C.任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
D.任意给定一个矩形,一定存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍
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【题目】如图1,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AD⊥BC,垂足为D,,BE分别交AD、AC于点F、G.
(1)判断△FAG的形状,并说明理由;
(2)如图2,若点E和点A在BC的两侧,BE、AC的延长线交于点G,AD的延长线交BE于点F,其余条件不变,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若BG=26,BD﹣DF=7,求AB的长.
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