【题目】如图,△ABD是等腰三角形,AB=AD,将△ABD沿BD翻折得△CBD,点P是线段BD上一点,
(1)如图1,连接PA、PC,求证:CP=AP;
(2)如图2,连接PA,若∠BAP=90°时,作∠DPF=45°,线段PF交线段CD于F,求证:AD=AP+DF;
(3)如图3,∠ABD=30°,连接AP并延长交CD于M,若∠BAM=90°,在BD上取一点Q,且DQ=3BQ,连BM、CQ,当BM= 时,求CQ的长.
【答案】
(1)
证明:由翻折有,AD=CD,∠ADP=∠CDP,
在△ADP和△CDP中,
∴△ADP≌△CDP,
∴CP=AP
(2)
证明:连接PC,由(1)有,AP=CP,
由翻折有∠BCP=∠BAP=90°,
∴∠CBP+∠BPC=90°,
∵AD=AB=CB=CD,
∴∠CBP=∠CDP,
∴∠CDP+∠BPC=90°,
∵∠DPF=45°,
∴∠BPC+∠CPF=135°,
∴∠CPF=∠CDP+45°,
∵∠CFP=∠CDP+∠BPF=∠CDP+45°,
∴∠CPF=∠CFP,
∴CP=CF,
∴AD=CB=CF+FD=CP+FD=AP+FD
(3)
证明:如图,连接AQ,AC,
由(1)有,AQ=CQ,AP=CP,由翻折有AB=BC,AD=CD,
∵AB=AD,
∴AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,∠BAD=120°,
∵DQ=3BQ,
∴BQ=OQ,
∴四边形CPAQ也是菱形,
∵∠BAM=90°,∠BAD=120°,
∴∠BAQ=∠DAM=30°,
∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=30°,
∵∠ADM=60°,
∴∠AMD=90°,
∵△ACD等边三角形,
∴CD=2DM.
设DM=x,
∴CD=AD=AB=2DM=2x,AM= x,
在Rt△ABM中,BM= ,
∴AB2+AM2=BM2,
∴(2x)2+( x)2=(
)2,
∴x= 或x=﹣
(舍),
在RT△AOB中,∠ABD=30°,
∴OA= AB=x,OB=
x,
∵OQ=BQ= OB=
x,
在RT△AOQ中,AQ= =
x=
,
∴CQ=AQ= .
【解析】(1)由翻折得到条件,直接判断出△ADP≌△CDP,即可;(2)由(1)结论CP=AP,用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和及平角的定义判断出∠CPF=∠CFP,得到CP=CF,即可;(3)由(1)的结论判断出四边形ABCD是菱形,继而判断出四边形AQCP也是菱形,利用勾股定理求出MN即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识,掌握等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角),以及对等腰三角形的判定的理解,了解如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在AC⊥BC,过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点,且AD=4,过点D作DE⊥BC,交直线MN于E,垂足为F,连接CD、BE.
(1)求CE的长;
(2)当D在AB中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由;
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为发展电信事业,方便用户,电信公司对移动电话采取不同的收费方式,其中,所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示:
(1)分别求出通话费y1,y2与通话时间x之间的函数关系式;
(2)请帮用户计算,在一个月内使用哪一种卡便宜.
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【题目】将点A(-1,2)沿x轴向右平移3个单位长度,再沿y轴向下平移4个单位长度后得到点A′的坐标为( )
A.(-4,-2 )
B.(2,-2 )
C.(-4,6 )
D.(2,6 )
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【题目】如图,已知⊙O的半径OA的长为2,点B是⊙O上的动点,以AB为半径的⊙A与线段OB相交于点C,AC的延长线与⊙O相交于点D.设线段AB的长为x,线段OC的长为y.
(1)求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(2)当四边形ABDO是梯形时,求线段OC的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】作图:已知线段a、b,请用尺规作线段EF使EF=a+b.请将下列作图步骤按正确的顺序排列出来(只填序号)_____.
作法:①以M为端点在射线MG上用圆规截取MF=b;②作射线EG;③以E为端点在射线EG上用圆规截取EM=a;④EF即为所求的线段.
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