Question

18．如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，过点E作半圆O的切线，交AB于M，连接BE．
（1）求证：∠EBC=∠AEM；
（2）若AD=AE，求证：AB=AC；
（3）在（2）的条件下，若BD=4，BO=2$\sqrt{5}$，求AM的长．

Answer 1

分析 （1）由直径所对的圆周角是直角，切线垂直于过切点的半径，然后利用互余得出结论；
（2）由切割线定理即可；
（3）利用勾股定理和等角的同名三角函数值相等，建立方程即可．

解答 解：（1）∵BC为直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°，
∴∠AEM+∠BEM=90°，
∵EM为⊙O的切线，
∴∠MEO=90°，
∴∠BEM+∠OEB=90°，
∴∠AEM=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠OEB=∠EBC=∠AEM；
（2）由割线定理得，AE×AC=AD×AB，
∵AE=AD，
∴AB=AC；
（3）∵AB=AC，AD=AE
∴AB-AD=AC-AE，
∴BD=CE=4，
在Rt△BEC中，BC=2BO=4$\sqrt{5}$，CE=4，
∴BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=8，
设AE=x，则AB=AC=4+x，
在Rt△BEA中，AB²=AE²+BE²，
∴（4+x）²=x²+8²，
∴x=6，
∴AE=6，
∵EM为切线，
∴∠OEM=90°，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠CEB，
∵∠EBC=∠AEM
∴∠AEM=∠EBC，
∴sin∠AEM=sin∠EBC=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{AM}{AE}$，
∴AM=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$×AE=$\frac{\sqrt{5}}{5}$×6=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

点评 此题是圆的综合题，主要考查了直径所对的圆周角是直角，切线垂直于过切点的半径，切割线定理，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理的结论表示相关相等（设AE=x，则AB=AC=4+x，），再另一个直角三角形中用勾股定理建立方程．