Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，AB-AC=2，过点B作∠BAC的平分线的垂线，垂足为D，交AC延长线于点E，则△BCE的面积为

17

+1

．

Answer 1

分析：由△ABC中，∠BAC=90°，得到此三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，由AB-AC=2，表示出AB，将表示出的AB与BC的长代入，得到关于AC的一元二次方程，求出方程的解得到AC的长，进而求出AB的长，再由AD为角平分线，得到一对角相等，AD垂直于BE，得到一对直角相等，以及AD为公共边，利用ASA得出三级爱心哦ABD与三角形AED全等，由全等三角形的对应边相等可得出AB=AE，求出AE的长，由AE-AC求出CE的长，此时BA为CE边上的高，利用三角形的面积公式求出三角形BCE的面积即可．

解答：解：由△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，
根据勾股定理得：BC²=AB²+AC²，即AB²+AC²=36①，
由AB-AC=2，得到AB=AC+2②，
②代入①得：（AC+2）²+AC²=36，
整理得：AC²+2AC-16=0，
解得：AC=-1+

17

或AC=-1-

17

（舍去），
则AB=-1+

17

+2=

17

+1，
∵AD为∠BAE的平分线，
∴∠BAD=∠EAD，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
在△ADB和△ADE中，
∵

∠BAD=∠EAD AD=AD ∠ADB=∠ADE

，
∴△ADB≌△ADE（ASA），
∴AB=AE=

17

+1，
∴CE=AE-AC=

17

+1-（-1+

17

）=2，
则S_△BCE=

1

2

CE•BA=

1

2

×2×（

17

+1）=

17

+1．
故答案为：

17

+1．

点评：此题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理是解本题的关键．