精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图，抛物线y=x²-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M直线 $数学公式$ 分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N．
（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M，N；
（2）若点N关于y轴的对称点N′恰好落在抛物线上，求此时抛物线的解析式；
（3）在抛物线y=x²-2x+a（a＜0）上是否存在点P．使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由．

解：（1）∵y=x²-2x+a=（x-1）²-1+a，
∴顶点M的坐标为；（1，a-1），
由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，a）．
设直线AM的解析式为y=kx+b，
则 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
则直线AM的解析式为：y=-x+a．
直线AM和y= $\text{[math]}$ x-a联立方程组，
$\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
即可求出N的坐标为（ $\text{[math]}$ a，- $\text{[math]}$ a）．

（2）∵由题意得点N与点N′关于y轴对称，
∴N′（- $\text{[math]}$ a，- $\text{[math]}$ a）．
将N′的坐标代入y=x²-2x+a得：
- $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a+a，
∴a₁=0（不合题意，舍去），a₂=- $\text{[math]}$ ．

∴此时抛物线的解析式为：y=x²-2x- $\text{[math]}$ ；

（3）存在，理由如下：
当点P在y轴的左侧时，若四边形ACPN是平行四边形，则PN平行且等于AC，
由A（0，a），C（0，-a），得AC=-2a，
则把N向上平移-2a个单位得到P，坐标为（ $\text{[math]}$ a，- $\text{[math]}$ a），代入抛物线的解析式，
得：- $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a²- $\text{[math]}$ a+a，
解得a₁=0（不舍题意，舍去），a₂=- $\text{[math]}$ ，
则P（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；
当点P在y轴的右侧时，若四边形APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，
由A（0，a），C（0，-a），则OA=OC，OP=ON．
则P与N关于原点对称，
则P（- $\text{[math]}$ a， $\text{[math]}$ a）；
将P点坐标代入抛物线解析式得： $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a²+ $\text{[math]}$ a+a，
解得a₁=0（不合题意，舍去），a₂=- $\text{[math]}$ ，
则P（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
故存在这样的点P₁（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或P₂（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：（1，a-1），（ $\text{[math]}$ a，- $\text{[math]}$ a）．
分析：（1）已知了抛物线的解析式，不难用公式法求出M的坐标为（1，a-1）．由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，a）．根据A，M的坐标，用待定系数法可得出直线AM的解析式为y=-x+a．直线AM和y= $\text{[math]}$ x-a联立方程组即可求出N的坐标为（ $\text{[math]}$ a，- $\text{[math]}$ a）．
（2）根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称，因此N′的坐标为（- $\text{[math]}$ a，- $\text{[math]}$ a）．由于N′在抛物线上，因此将N′的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值．
（3）本题可分两种情况进行讨论：
①当P在y轴左侧时，如果使以P，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形，那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC，也就是说，如果N点向上平移AC个单位即-2a后得到的点就是P点．然后将此时P的坐标代入抛物线中，如果没有解说明不存在这样的点P，如果能求出a的值，那么即可求出此时P的坐标．
②当P在y轴右侧时，P需要满足的条件是PN与AC应互相平分（平行四边形的对角线互相平分），那么NP必过原点，且关于原点对称．那么可得出此时P的坐标，然后代入抛物线的解析式中按①的方法求解即可．
点评：本题主要考查了待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

练习册系列答案

快乐宝贝假期园地寒假系列答案

快乐过寒假江苏凤凰科学技术出版社系列答案

快乐寒假系列答案

快乐寒假寒假能力自测系列答案

快乐假期寒假生活系列答案

Happy holiday快乐假期寒假作业延边教育出版社系列答案

快乐练习寒假衔接优计划系列答案

快乐学习寒假作业系列答案

快乐之星学期复习期末加寒假系列答案

鲁人泰斗快乐寒假假期好时光武汉大学出版社系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，抛物线y=x²+4x与x轴分别相交于点B、O，它的顶点为A，连接AB，AO．
（1）求点A的坐标；
（2）以点A、B、O、P为顶点构造直角梯形，请求一个满足条件的顶点P的坐标．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

16、如图，抛物线y=-x²+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），点A在点B的左侧．当x=x₂-2时，y

＜

0（填“＞”“=”或“＜”号）．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

已知如图，抛物线y=x²+（k²+1）x+k+1的对称轴是直线x=-1，且顶点在x轴上方．设M是直线x=-1左侧抛物线上的一动点，过点M作x轴的垂线MG，垂足为G，过点M作直线x=-1的垂线MN，垂足为N，直线x=-1与x轴的交于H点，若M点的横坐标为x，矩形MNHG的周长为l．
（1）求出k的值；
（2）写出l关于x的函数解析式；
（3）是否存在点M，使矩形MNHG的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

（2013•扬州）如图，抛物线y=x²-2x-8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．
（1）求直线AB对应的函数关系式；
（2）有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴分别交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求抛物线顶点M关于x轴对称的点M′的坐标，并判断四边形AMBM′是何特殊平行四边形．（不要求说明理由）

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学