Question

已知如图，抛物线y=x²+（k²+1）x+k+1的对称轴是直线x=-1，且顶点在x轴上方．设M是直线x=-1左侧抛物线上的一动点，过点M作x轴的垂线MG，垂足为G，过点M作直线x=-1的垂线MN，垂足为N，直线x=-1与x轴的交于H点，若M点的横坐标为x，矩形MNHG的周长为l．
（1）求出k的值；
（2）写出l关于x的函数解析式；
（3）是否存在点M，使矩形MNHG的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴公式得到关于k的方程，解方程即可求解；
（2）先用x表示出M点的坐标，根据两点之间的距离公式得到MG，GH；再根据矩形的周长公式即可得到l关于x的函数解析式；
（3）先将l关于x的函数解析式配方，得到x的值，代入抛物线解析式即可得到使矩形MNHG的周长最小时点M的坐标．

解答：解：（1）对称轴：x=-

b

2a

=-

k2+1

2

=-1，
则k²+1=2，
解得k=±1，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴k+1＞0，
则k=1；

（2）由（1）得抛物线解析式为：y=x²+2x+2
∵M点的横坐标为x，M点在抛物线上，
∴M点的纵坐标为x²+2x+2，
MG=x²+2x+2，
又∵对称轴是直线x=-1
∴GH=|x|-|-1|
由题知，M是直线x=-1左侧，
∴GH=-x-1，
∴矩形MNHG的周长为l=2（GH+MG）=2（-x-1+x²+2x+2）=2（x²+x+1）；

（3）矩形MNHG的周长为l=2（x²+x+

1

4

-

1

4

+1）=2[（x+

1

2

）²+

3

4

]=2（x+

1

2

）²+

3

2

，
当x=-

1

2

时，矩形MNHG的周长为l有最小值

3

2

，此时点M的坐标为（-

1

2

，（-

1

2

）²+2×（-

1

2

）+2），即（-

1

2

，1

1

4

）．

点评：本题考查的是二次函数的综合题，涉及的知识点有：抛物线的对称轴公式，两点之间的距离公式，矩形的周长公式，配方法求最值问题，综合性较强，难度中等．