Question

已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：点D是AB的中点；
（2）证明：DE是⊙O的切线．

Answer 1

分析：（1）连接CD，由BC为直径可知CD⊥AB，又BC=AC，由等腰三角形的底边“三线合一”证明结论；
（2）连接OD，则OD为△ABC的中位线，OD∥AC，已知DE⊥AC，可证DE⊥OC，问题得证．

解答：（1）证明：连接CD，
∵BC是圆的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
又∵AC=BC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴AD=BD，即点D是AB的中点；

（2）证明：连接OD，则DO是△ABC的中位线，
∴DO∥AC，
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥DO，
∴DE是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质、平行线的判定和性质，解题的关键是连接圆心和切点（有可能是要证明的切点）得垂直（证明垂直）．