Question

如图，正方形ABCD的AB边上有一点P，AD上有一点Q，且PQ=BP+DQ，则∠QCP=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：将△BCP绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，根据旋转的性质得CP=CE，BP=DE，求出PQ=EQ，然后利用“边边边”证明△CPQ和△CEQ全等，根据全等三角形对应角相等∠QCP=∠ECQ，再根据正方形的每一个角都是直角解答．

解答：解：将△BCP绕点C逆时针旋转90°得到△DCE，
由旋转的性质得CP=CE，BP=DE，
∵PQ=BP+DQ，QE=DE+DQ=BP+DQ，
∴PQ=EQ，
在△CPQ和△CEQ中，

CP=CE CQ=CQ PQ=EQ

，
∴△CPQ≌△CEQ（SSS），
∴∠QCP=∠ECQ，
又∵∠BCD=90°，
∴∠QCP=

1

2

∠BCD=

1

2

×90°=45°．
故答案为：45°．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．