Question

已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k-1=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x=3，求k的值及方程的另一根．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的解

专题：

分析：（1）根据△=b²-4ac进行判断；
（2）把x=3代入方程x²-（k+2）x+2k-1=0即可求得k，然后解这个方程即可；

解答：（1）证明：由于x²-（k+2）x+2k-1=0是一元二次方程，△=b²-4ac=[-（k+2）]²-4×1×（2k-1）=k²-4k+8=（k-2）²+4，
无论k取何实数，总有（k-2）²≥0，（k-2）²+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x=3代入方程x²-（k+2）x+2k-1=0，有3²-3（k+2）+2k-1=0，
整理，得 2-k=0．
解得 k=2，
此时方程可化为 x²-4x+3=0．
解此方程，得 x₁=1，x₂=3．
所以方程的另一根为x=1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；还有方程根的意义等；