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    4．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．

    （1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，写出关系式不证明；
    （2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置，
    ①求证：∠ACD=∠A′C′D；
    ②（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

    分析 （1）易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形，从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°，∠DC′A′=∠DA′C′=30°，进而可以证到AD=DC′=A′D．
    （2）①易证∠ACD=45°，∠A′C′D=45°；②由旋转可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′，得到△BCC′∽△BAA′，再由相似得出结论△BOC∽△DOA，△BOD∽△COA．∠ADB=90°即可．

    解答 （1）AD=A′D．
    证明：如图1，

    ∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
    ∴BC=BC′，BA=BA′．
    ∵∠A′BC′=∠ABC=60°，
    ∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形．
    ∴∠BAA′=∠BC′C=60°．
    ∵∠A′C′B=90°，
    ∴∠DC′A′=30°．
    ∵∠AC′D=∠BC′C=60°，
    ∴∠ADC′=60°．
    ∴∠DA′C′=30°．
    ∴∠DAC′=∠DC′A，∠DC′A′=∠DA′C′．
    ∴AD=DC′，DC′=DA′．
    ∴AD=A′D．
    （2）
    ①利用：∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC，
    ∴BC=BC′，
    ∴∠BCD=∠BC′C=45°
    ∵∠ACB=90°，∠A′C′B=90°，
    ∴∠ACD=45°，∠A′C′D=45°
    ∴∠ACD=∠A′C′D，
    ②AD=A′D
    证明：连接BD，如图2，

    由旋转可得：BC=BC′，BA=BA′，∠CBC′=∠ABA′．
    ∴$\frac{BC}{BC′}$=$\frac{BA}{BA′}$
    ∴△BCC′∽△BAA′．
    ∴∠BCC′=∠BAA′．
    ∵∠BOC=∠DOA，
    ∴△BOC∽△DOA．
    ∴∠ADO=∠OBC，
    ∴$\frac{OB}{OD}$=$\frac{OC}{OA}$，
    ∵∠BOD=∠COA，
    ∴△BOD∽△COA．
    ∴∠BDO=∠CAO．
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠CAB+∠ABC=90°．
    ∴∠BDO+∠ADO=90°，即∠ADB=90°．
    ∵BA=BA′，∠ADB=90°，
    ∴AD=A′D．

    点评 此题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质和相似三角形的性质和判定，判断三角形相似是解本题的关键．

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