Question

【题目】已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合），在同一平面内，把线段AP、BP分别折成等边△CDP和△EFP，且D、P、F三点共线，如图所示．

（1）若DF=2，求AB的长；

（2）若AB=18时，等边△CDP和△EFP的面积之和是否有最大值，如果有最大值，求最大值及此时P点位置，若没有最大值，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB= 6；（2）没有最大值，理由见解析.

【解析】（1）由等边三角形的性质容易得出结果；

（2）设CD=PC=PD=x，则EF=EP=PF=6﹣x，求出等边△CDP和△EFP的面积之和S=x2﹣3x+9＞0，得出S有最小值，没有最大值．

（1）∵△CDP和△EFP是等边三角形，∴CD=PC=PD，EF=EP=PF，AP=3PD，BP=3PF．

∵DF=PD+PF=2，∴AB=AP+BP=3DF=3×2=6；

（2）没有最大值，理由如下：

设CD=PC=PD=x，则EF=EP=PF=（18﹣3x）=6﹣x，作CM⊥PD于M，EN⊥PF于N，则DM=PD=x，PN=PF=（6﹣x），∴CM=DM=x，EN=（6﹣x），

∴△CDP的面积=PDCM=x2，△EFP的面积=（6﹣x）2，

∴等边△CDP和△EFP的面积之和S=x2+（6﹣x）2=x2﹣3x+9．

∵＞0，∴S有最小值，没有最大值．