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【题目】如图,在菱形ABCD中,边长为2,∠BAD120°,点P从点B开始,沿着BD方向,速度为每秒1个单位,运动到点D停止,设运动的时间为t(秒),将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得到对应线段的延长线与过点P且垂直AP的垂线段相交于点E

1)当t0时,求AE的值.

2P点在运动过程中,线段PE与菱形的边框交于点F.(精确到0.1

问题1:如图2,当∠BAP11°,AF2PF,则OQ   

问题2:当t为何值时,△APF是含有30°角的直角三角形,写出所有符合条件的t的值 

1.73sin11°≈0.19cos11°≈0.98sin19°≈0.33tan19°≈0.34sin41°≈0.65tan41°≈0.87

3)当点P在运动过程中,求出△ACE的面积y关于时间t的函数表达式.(请说明理由)

【答案】1AE4;(2)问题1OQ0.6,问题2t1s4s时,∠PAF30°;(3SACEt0t6)..

【解析】

1)利用直角三角形30度角的性质解决问题即可.

2)①根据OQ=OAtan19°,求出OA即可解决问题.

②分两种情形:如图2-2中,当∠PAF=30°时,延长FPH,使得PH=PF,连接AHBH.如图2-1中,当∠PAF=30°,分别求解即可.

3)如图3中,作BMABAC的延长线于M,作EHAMH,连接EM.证明EAM∽△PAB,推出=2,求出EM即可解决问题.

1t0时,点P与点B重合,

∵∠PAE60°APE60°

∴∠E30°

AE2PA2AB4.

2如图2中,

四边形ABCD是菱形,DAB120°

∴∠DACCAB60°ADCDABBC2

∴△ADCABC都是等边三角形,

ACAB2OAOC

∵∠APF90°

sinPAF

∴∠PAF30°

∴∠OAQ60°11°30°19°

OQOAtan19°≈0.6

故答案为0.6

如图22中,当PAF30°时,延长FPH,使得PHPF,连接AHBH

PAFHFPFH

AFAH

∵∠PAF30°

∴∠AFH60°

∴△AFH是等边三角形,

∴∠PAHPAF30°

PAPH

∵∠AHFABC60°

AHBF四点共圆,

∴∠ABHAFH60°

∴∠ABHBAC60°

BHAC

BDAC

BDBH

HBP∽△POA,可知:

OAt

t

t1

如图21中,当PAF30°,易知BAP90°

PB4

综上所述,t1s4s时,PAF30°

故答案为1s4s

3)如图3中,作BMABAC的延长线于M,作EHAMH,连接EM

RtABM中,∵∠ABM90°BAM60°

∴∠AMB30°

AM2AB

RtAPE中,∵∠APE90°PAE60°

∴∠AEP30°

AE2PA

2

∵∠EAPMAB

∴∠EAMPAB

∴△EAM∽△PAB

2AMEABP30°

EM2tEHEMt

SACEACEHt0t≤6).

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