Question

11．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E，
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，OC=2，求PB的长．

Answer 1

分析 （1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OA，再证∠PBO=90°即可；
（2）根据余角的性质得到∠ABE=∠BPO，于是得到$\frac{OC}{BC}$=$\frac{OB}{PB}$=$\frac{1}{2}$根据勾股定理得到OB=$\sqrt{B{C}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB，
在△PBO与△PAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OA}\\{PO=PO}\\{PB=PA}\end{array}\right.$，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB为⊙O的切线；

（2）解：∵∠PBO=∠BCO=90°，
∴∠PBC+∠ABE=∠BPO+∠PBC=90°，
∴∠ABE=∠BPO，
∵tan∠ABE=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{BC}$=$\frac{OB}{PB}$=$\frac{1}{2}$
∵OC=2，∴BC=4，
∴OB=$\sqrt{B{C}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴PB=2OB=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．