Question

2．如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．

（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$，求点M的坐标；
（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，B点的横坐标为6-2t，此时
①CP=2t，AQ=6-t（用含t的式子表示）．
②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的性质和对称性，由点D的坐标直接得出答案即可；
（2）得出E点的坐标为（0，3），设出M点的坐标，根据△CME的面积是长方形ABCD面积的$\frac{1}{6}$，列出方程解答即可；
（3）由B点的横坐标为6-2t=-6，得出t=6，求得点P的运动速度为2，点Q的运动速度为1，利用面积差表示出四边形PBQD的面积比较得出答案即可．

解答 解：（1）A、B、C的坐标分别为（-6，3）、（-6，-3）、（6，-3）；
（2）由题意得E点的坐标为（0，3），设M点坐标为（0，a），
则$\frac{1}{2}$×|a-3|×6=$\frac{1}{6}$×12×6
解得：a=-1或a=7，
M点坐标为（0，-1）或（0，7）．
（3）∵B点的横坐标为6-2t=-6，
∴t=6，
则点P的运动速度为12÷6=2，点Q的运动速度为2÷2=1，
①CP=2t，AQ=6-t；
②不变．
理由：∵四边形PBQD的面积=12×6-$\frac{1}{2}$（6-t）×12-$\frac{1}{2}$×2t×6=36，
∴四边形PBQD的面积不发生变化．

点评 此题考查坐标与图形的性质，三角形的面积，矩形的性质与面积，掌握矩形的对称性是解决问题的关键．