Question

7．设D是△ABC的边BC上一点，但不是中点，设O₁和O₂分别是△ABD和△ADC的外心，求证：△ABC的中线AK的垂直平分线过线段O₁O₂中点．

Answer 1

分析 首先根据O₁和O₂分别是△ABD和△ADC的外心得到O₁O₂为AD的中垂线，然后根据MN为AK的中垂线得到N为△ADK的外心，作NE⊥DK，则DE=EK，然后根据O₁F∥NE∥O₂G得到O₁N=O₂N，从而证得AK的垂直平分线过线段O₁O₂中点．

解答 证明：∵O₁和O₂分别是△ABD和△ADC的外心，
∴O₁A=O₁D，O₂A=O₂D，
∴O₁O₂为AD的中垂线，
又∵MN为AK的中垂线，
∴N为△ADK的外心，作NE⊥DK，则DE=EK，
同理BF=DF，
∴DE+OF=EK+BF，
即EF=$\frac{1}{2}$BK，
∵BF=DF，DG=CG，
∴FG=$\frac{1}{2}$BC，
∵AK为中线，
∴BK=$\frac{1}{2}$BC，
∴BK=FG，
又∵EF=$\frac{1}{2}$FG，
即EF=EG，
又∵O₁F∥NE∥O₂G，
∴O₁N=O₂N，
即：AK的垂直平分线过线段O₁O₂中点．

点评 本题考查了三角形的五心的知识，了解三角形的外心的性质是解答本题的关键，难点是正确的构造辅助线，难度较大．