【题目】如图,已知抛物线(a≠0)的对称轴为直线,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与轴交于点B.
(1)若直线经过B,C两点,求直线BC和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使MA+MC的值最小,求点M的坐标;
(3)设P为抛物线的对称轴上的一个动点,求使ΔBPC为直角三角形的点P的坐标.
【答案】(1)y=x+3,;(2)M(﹣1,2);(3)P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,).
【解析】
(1)先把点A,C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b,c的关系式,再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系,再联立得到方程组,解方程组,求出a,b,c的值即可得到抛物线解析式;把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n,解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式;
(2)设直线BC与对称轴x=-1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.把x=-1代入直线y=x+3得y的值,即可求出点M坐标;
(3)设P(-1,t),又因为B(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标.
解:(1)由题意得:
解得:,∴抛物线的解析式为:
由题意得B(-3,0)
把B(-3,0),C(0,3)代入得:
解得:,∴直线的解析式为
(2)设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M,则此时MA+MC的值最小.
代入直线得,∴M(﹣1,2),
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为(﹣1,2);
(3)设P(-1,t),B(-3,0),C(0,3),∴,,
若点B为直角顶点时,则
即:
解得:
若点C为直角顶点时,则
即:
解得:
若P为直角顶点时,则
即:
解得:
综上所述:P的坐标为(-1,-2)或(-1,4)或(-1,)或(-1,).
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【题目】为了解初三学生的体育锻炼时间,小华调查了某班45名同学一周参加体育锻炼的情况,并把它绘制成折线统计图(如图所示).那么关于该班45名同学一周参加体育锻炼时间的说法错误的是( )
A.众数是9
B.中位数是9
C.平均数是9
D.锻炼时间不低于9小时的有14人
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【题目】为了让学生掌握知识更加牢固,某校九年级物理组老师们将物理实验的教学方式由之前的理论教学改进为理论+实践,一段时间后,从九年级随机抽取15名学生,对他们在教学方式改进前后的物理实验成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩用表示,共分成4组:A.,B.,C.,D.),下面给出部分信息:
教学方式改进前抽取的学生的成绩在组中的数据为:80,83,85,87,89.
教学方式改进后抽取的学生成绩为:72,70,76,100,98,100,82,86,95,90,100,86,84,93,88.
教学方式改进前抽取的学生成绩频数分布直方图
教学方式改进前后抽取的学生成绩对比统计表
统计量 | 改进前 | 改进后 |
平均数 | 88 | 88 |
中位数 | ||
众数 | 98 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述图表中的值;
(2)根据以上数据,你认为该校九年级学生的物理实验成绩在教学方式改进前好,还是改进后好?请说明理由(一条理由即可);
(3)若该校九年级有300名学生,规定物理实验成绩在90分及以上为优秀,估计教学方式改进后成绩为优秀的学生人数是多少?
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【题目】某服装店用4500元购进一批衬衫,很快售完,服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫,进货量是第一次的一半,但进价每件比第一批降低了10元.
(1)这两次各购进这种衬衫多少件?
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件,老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1950元,则第二批衬衫每件至少要售多少元?
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【题目】2015年4月份的尼泊尔强震曾经导致珠峰雪崩,在珠峰抢险时,需8组登山队员步行运送物资,要求每组分配的人数相同,若按每组人数比预定人数多分配1人,则总数会超过100人;若按每组人数比预定人数少分配1人,则总数不够90人,那么预定每组分配的人数是( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
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【题目】“六一”儿童节前,玩具商店根据市场调查,用2500元购进一批儿童玩具,上市后很快脱销,接着又用4500元购进第二批这种玩具,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了10元.第一、二批玩具每套的进价分别是多少元?
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【题目】我们把有一组邻边相等,一组对边平行但不相等的四边形称作“准菱形”.
(1)证明“准菱形”性质:“准菱形”的一条对角线平分一个内角.
(要求:根据图1写出已知,求证,证明)
已知:
求证:
证明:
(2)已知.在△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4.若点D,E分别在边BC,AC上,且四边形ABDE为“准菱形”.请在下列给出的△ABC中,作出满足条件的所有“准菱形”ABDE,并写出相应DE的长.(所给△ABC不一定都用,不够可添)
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【题目】如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D为BC边上的一个动点(点D不与点B、点C重合).以D为顶点作∠ADE=∠B,射线DE交AC边于点E,过点A作AF⊥AD交射线DE于点F.
(1)求证:ABCE=BDCD;
(2)当DF平分∠ADC时,求AE的长;
(3)当△AEF是等腰三角形时,求BD的长.
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