Question

如图，点C为线段AB上一动点，△ACD，△CBE是等边三角形，AE交BD于点O，AE交CD于点P，BD交CE于点Q，连接OC，下列结论中：①PE=BQ，②∠AOD=60°，③EO=BQ，④OC+OE=OB，⑤OC平分∠AOB，正确的结论有

 

（只填序号）．

Answer 1

分析：已知△ACD，△CBE是等边三角形，可证△ACE≌△DCB．从而△BCQ≌△ECP，则PE=BQ①对，故EO≠BQ．③错．
由上可知∠CEA=∠CBO，∠EQO=∠BQC，从而可推出△BCQ∽△E0Q，则∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②对．
因∠POQ=120°，又因为△BCQ∽△E0Q，所以

OQ

CQ

=

QE

BQ

，因为∠OQC=∠BQE，所以△OQC∽△EQB，所以∠COQ=∠CEB=60°，∠POC=60°，则OC平分∠AOB⑤对．
连接PQ，过点P做OP=OM，则△OPM为等边三角形，所以∠OMC=60°，故∠PMC=120°，又因为∠POQ=120°，所以∠PMC=∠POQ，易证PQ∥BC，所以∠OQP=∠DBC，因为∠DBC=∠AEC，所以∠OQP=∠AEC，因为∠OPC=∠OPC，∠AOC=∠PCE=60°所以△CPO∽△EPC，∠PEC=∠PCO，∠PCO=∠OQP．又因为OP=PM，可知△OPQ≌△MPC，所以MC=OQ．因此OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④对．

解答：解：∵△ACD，△CBE是等边三角形
∴BC=CE，CD=AC，∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△DCB
∴∠AEC=∠CBD，∠PCE=∠QCB，BC=EC
∴△BCQ≌△ECP
∴PE=BQ①对，故EO≠BQ．③错
由上可知，∠CEA=∠CBO，∠EQO=∠BQC
∴△BCQ∽△E0Q
∴∠BCQ=∠EOQ=∠AOD=60°②对．
∴∠POQ=120°
∵△BCQ∽△E0Q
∴

OQ

CQ

=

QE

BQ

∵∠OQC=∠BQE
∴△OQC∽△EQB
∴∠COQ=∠CEB=60°
∴∠POC=60°
∴OC平分∠AOB⑤对．
连接PQ，过点P做OP=OM．
∵∠POM=60°
∴△OPM为等边三角形
∴∠OMC=60°
∴∠PMC=120°
又∵∠POQ=120°
∴∠PMC=∠POQ，易证PQ∥BC
∴∠OQP=∠DBC
∵∠DBC=∠AEC
∴∠OQP=∠AEC
∵∠OPC=∠OPC，∠AOC=∠PCE=60°
∴△CPO∽△EPC
∴∠PEC=∠PCO
∴∠PCO=∠OQP
又∵OP=PM
∴△OPQ≌△MPC
∴MC=OQ
∴OC+OE=OP+OQ+OE=PE+OQ=QB+OQ=OB④对．
故①②④⑤是正确的．

点评：当题中出现两个等边三角形时，常见的两对三角形对应全等等知识点应牢固掌握．得到其中的相似并且利用相似是本题的难点．