Question

2．如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，∠C=90°，
（1）求证：四边形CEOF为正方形；
（2）若AB=10，AC=6，求AD、BE、CF长；
（3）若∠B=30°，AC=$\sqrt{3}$，求△ABC的内切圆半径．

Answer 1

分析 （1）由⊙O是△ABC的内切圆，得到OE⊥BC，OF⊥AF，推出四边形CEOF是矩形，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，根据切线的性质列方程组即可得到结论；
（3）解直角三角形得到AB=2AC=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$AC=3，根据切线的性质列方程组即可得到结论．

解答 解：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OE⊥BC，OF⊥AF，
∵∠C=90°，
∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形CEOF为正方形；

（2）∵∠C=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AD=AF，BD=BE，CE=CF，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AD+BE=10}\\{AD+CF=6}\\{BE+CF=8}\end{array}\right.$，
∴AD=4，BE=6，CF=2；

（3）∵∠B=30°，AC=$\sqrt{3}$，
∴AB=2AC=2$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$AC=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{AD+BD=2\sqrt{3}}\\{AD+CF=\sqrt{3}}\\{BE+CF=3}\end{array}\right.$，
∴CF=$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$，
∴△ABC的内切圆半径是$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟知三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点是解答此题的关键．