Question

【题目】如图，直角三角形中，，为中点，将绕点旋转得到．一动点从出发，以每秒1的速度沿的路线匀速运动，过点作直线，使．

（1）当点运动2秒时，另一动点也从出发沿的路线运动，且在上以每秒1的速度匀速运动，在上以每秒2的速度匀速运动，过作直线使，设点的运动时间为秒，直线与截四边形所得图形的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最大值．

（2）当点开始运动的同时，另一动点从处出发沿的路线运动，且在上以每秒的速度匀速运动，在上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的，使为等腰三角形？若存在，直接写出点运动的时间的值，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），S的最大值为；（2）存在，m的值为或或或.

【解析】

（1）分、和三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可．

（2）分两种情形：①如图中，由题意点在上运动的时间与点在上运动的时间相等，即．当时，当时，当时，分别构建方程求解即可．②如图中，作于．首先证明，根据构建方程即可解决问题．

解：（1）如图中，当时，点与点都在上运动，

，，

，

，，，

，，，．

此时两平行线截平行四边形的面积为．

如图中，当时，点在上运动，点仍在上运动．

则，，，，，，，

而，

故此时两平行线截平行四边形的面积为：

，

如图中，当时，点和点都在上运动．

则，，，．

此时两平行线截平行四边形的面积为．

故关于的函数关系式为，

当时，S随t增大而增大，

当时，S随t增大而增大，

当时，S随t增大而减小，

∴当t=8时，S最大，代入可得S=；

（2）如图中，

由题意点在上运动的时间与点在上运动的时间相等，．

当时，，则有，解得，

当时，则有，解得，

当时，，则有，解得．

如图中，作于．

在Rt△CHR中，，，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

四边形是矩形，

，

当时，则有，解得，

综上所述，满足条件的m的值为或或或．