Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”，已知点C的坐标为（0，-），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m(m<0)的顶点.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限内是否存在一点P，使得∆PBC的面积最大？若存在，求出∆PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当∆BDM为直角三角形时，请直接写出m的值.(参考公式：在平面直角坐标系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M、N两点间的距离为MN=.

 

Answer 1

（1）A（-1，0），B（3，0）；（2）存在，；（3）-1或-.

【解析】

试题分析：（1）将y=mx2-2mx-3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；

（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值；

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．

试题解析：（1）y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），

∵m≠0，

∴当y=0时，x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：

，解得，

故C1：y=x2-x-．

依题意，设点P的坐标为（n，n2-n-）(0<n<3)

则S∆PBC=S∆POC+S∆BOP-S∆BOC =××n+×3×(-n2+n+)-×3×

=-(n-)2+

∵-＜0,

∴当n=时S∆PBC的最大值是

（3）y=mx2-2mx-3m=m（x-1）2-4m，顶点M坐标（1，-4m），

当x=0时，y=-3m，

∴D（0，-3m），B（3，0），

∴DM2=（0-1）2+（-3m+4m）2=m2+1，

MB2=（3-1）2+（0+4m）2=16m2+4，

BD2=（3-0）2+（0+3m）2=9m2+9，

当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．

①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，

解得m=-1（∵m＜0，∴m=1舍去）；

②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，

解得m=-（m=舍去）．

综上，m=-1或-时，△BDM为直角三角形．

考点: 二次函数综合题．