Question

（1）在正△ABC中，P在BC上，∠APE=∠B，PE与∠C的外角平分线交于E，求证：AP=PE．
（2）如图（2），（1）中“在正△ABC 中“改为“在正方形ABCD中“，其余不变，其结论仍然成立吗？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）连接AE，可证点A、C、P、E四点共圆，进而可以证明∠PAE=60°，即可证明△APE是等边三角形，即可解题；
（2）连接AE，取AG=CP，连接GP，易证∠EPC=∠PAB，∠AGP=∠ECP，即可证明△AGP和△PCE，即可解题．

解答：解：（1）连接AE，

∵CE是等边△ABC的外角平分线，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴点A、C、P、E四点共圆，
∴∠EAC=∠EPC，
∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠CAE，
∴∠PAE=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=PE．
（2）连接AE，取AG=CP，连接GP．

∵∠EPC+∠APB=90°，∠APB+∠PAB=90°，
∴∠EPC=∠PAB，
∵AB=BC，AG=PC，
∴BG=BP，
∴∠BGP=45°，
∴∠AGP=135°，
∵∠ECP=∠BCD+∠ECD=135°，
∴∠AGP=∠ECP，
在△AGP和△PCE中，

∠PAB=∠EPC AG=PC ∠AGP=∠ECP

，
∴△AGP≌△PCE（ASA），
∴AP=PE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中构建全等三角形并证明是解题的关键．