Question

7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B、C重合），点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．
（1）如图1，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；
（2）连接FP，设CP=x，S_△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似？若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．

Answer 1

分析 （1）先求出CP=1，利用对称得出∠MBN=90°，BP=BP=3，最后用锐角三角函数的定义即可；
（2）先求出FG，再利用同角的三角函数相等，得出PG，再用三角形的面积公式求解即可；
（3）利用对称先判断出AM=AP=AN，进而得出三角形AMN是等腰直角三角形，即可得出∠AMN=45°，得出∠AFE=∠AMB，即可判断出△AEF∽△BAM．

解答 解：（1）如图1，连接BN，
∵点P为边BC的中点，
∴CP=BP=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵点P与点M关于AC对称，
∴CM=CP=1
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵点P与点N关于AB对称，
∴BP=BN=1，∠ABN=∠ABC=45°，
∴∠CBM=90°，BM=CM+BC=3
在Rt△MBN中，tan∠M=$\frac{BN}{BM}$=$\frac{1}{3}$；

（2）如图2，过点F作FG⊥BC，
设PG=m，
∴BG=BP-PG=2-x-m，MG=MP+PG=2x+m，
在Rt△BFG中，∠FBG=45°，
∴FG=BG=2-x-m，
在Rt△FMG中，tan∠M=$\frac{FG}{MG}$=$\frac{2-x-m}{2x+m}$，
在Rt△MNB中，tan∠M=$\frac{BN}{BM}$=$\frac{2-x}{2+x}$，
∴$\frac{2-x-m}{2x+m}=\frac{2-x}{2+x}$，
∴m=$\frac{（x-2）^{2}}{4}$，
∴FG=2-x-$\frac{（x-2）^{2}}{4}$
∴y=S_△MPF=$\frac{1}{2}$MP•FG=$\frac{1}{2}$×2x×[2-x-$\frac{（x-2）^{2}}{4}$]=$\frac{x（2-x）（2+x）}{4}$（0＜x＜2）；

（3）△AEF∽△BAM
理由：如图3，连接AM，AP，AN，BN，
∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N，
∴AM=AP=AN．∠MAC=∠PAC，∠PAB=∠NAB，
∵∠BAC=∠PAC+∠PAB=45°，
∴∠MAN=∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB=2（∠PAC+∠PAB）=90°，
∴∠AMN=45°=∠ABC，
∵∠AFE=∠ABC+∠BMF，∠AMB=∠AMN+∠BMF，
∴∠AFE=∠AMB，∵∠EAF=∠ABM=45°，
∴△AEF∽△BAM．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，对称的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是得出△PFM的边PM上高和△MAN是等腰直角三角形，是一道很好的中考常考题．