Question

17．如图，△ABC中，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，连结CD，动点P从点A出发，沿A→C→B的路径运动，到达点B时运动停止，速度为每秒2cm，设运动时间为t秒．
（1）求CD的长；
（2）当t为何值时，△ADP是直角三角形？
（3）直接写出：当t为何值时，△ADP是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）根据AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，运用等腰三角形的性质，求得AD的长，再根据勾股定理求得CD即可；
（2）分两种情况进行讨论：当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，分别根据相似三角形的性质进行求解即可；
（3）分三种情况进行讨论：当PA=PD时，当AP=AD时，当AD=PD时，分别作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例，求得t的值即可．

解答 解：（1）如图所示，AC=BC=10cm，AB=12cm，点D是AB的中点，

∴CD⊥AB，AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=6cm，
∴Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=8cm；

（2）分两种情况：
①如图所示，当DP⊥AC时，△ADP是直角三角形，

∵∠A=∠A，∠APD=∠ADC=90°，
∴△APD∽△ADC，
∴$\frac{AP}{AD}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{2t}{6}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=1.8，
②如图所示，当PD⊥AD时，△ADP是直角三角形，

此时点P与点C重合，AP=AC=10，
∴t=$\frac{10}{2}$=5，
综上所述，当t=1.8或5秒时，△ADP是直角三角形；

（3）分三种情况：
①如图所示，当PA=PD时，过点P作PE⊥AD于E，则AE=$\frac{1}{2}$AD=3，

∵PE∥CD，
∴△APE∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{2t}{10}$=$\frac{3}{6}$，
解得t=$\frac{5}{2}$；
②如图所示，当AP=AD时，2t=6，

∴t=$\frac{6}{2}$=3；
③如图所示，当AD=PD时，过点D作DF⊥AP于F，则AF=$\frac{1}{2}$AP=t，

∵∠A=∠A，∠AFD=∠ADC=90°，
∴△AFD∽△ADC，
∴$\frac{AF}{AD}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{6}{10}$，
解得t=3.6，
综上所述，当t=2.5或3或3.6秒时，△ADP是等腰三角形．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例列出比例式进行计算．解题时注意方程思想和分类思想的运用．