如图(1).在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC.点D为AB边上一点.连接CD.∠ADC=120°.把△ADC绕点A逆时针旋转30°得△AD′C′.如图(2).连接CC′并延长.交AB于点E．中.∠DCB的度数为75°,在图(2)中.∠DEC′的度数为60°．中.线段D′C′与线段CE有怎样的位置关系和数量关系?并说明理由．(3)应用:若△ADC绕点A逆时针旋转的度� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，连接CD，∠ADC=120°，把△ADC绕点A逆时针旋转30°得△AD′C′，如图（2），连接CC′并延长，交AB于点E．
（1）发现：在图（1）中，∠DCB的度数为75°；在图（2）中，∠DEC′的度数为60°．
（2）论证：在图（2）中，线段D′C′与线段CE有怎样的位置关系和数量关系？并说明理由．
（3）应用：若△ADC绕点A逆时针旋转的度数为m（0°≤m≤360°），以A、B、C、C′四点组成的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出m的值；若不能，请说明理由．

分析（1）依据等腰直角三角形的性质可求得∠B=∠A=45°，然后依据三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠DCB，从而可求得∠DCB的值；根据题意可证明△ACC′为等腰三角形，从而可求得∠ACC′的度数，然后可得到∠ECB的度数，最后由三角形的外角的性质可知∠DEC′=∠B+∠ECB；
（2）证明△AC′D′≌△BCE，然后依据全等三角形对应边相等的性质求解即可；
（3）首先依据题意画出图形，然后依据旋转的性质和等腰直角三角形的性质可知AC′=BC，故此只需要AC′∥BC即可，从而可得到m的值．

解答解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=∠A=45°．
∵∠ADC=∠DCB+∠B=120°，
∴45°+∠DCB=120°，解得∠DCB=75°．
由旋转的定义可知∠CAC′=30°，AC=AC′．
∴∠ACC′=75°．
∴∠ECB=90°-75°=15°．
∴∠DEC′=∠B+∠ECB=45°+15°=60°．
故答案为：75°；60°．
（2）D′C′=CE．
理由：由旋转的性质可知∠ADC=∠AD′C′=120°，∠CAB=∠C′AD′=45°，AC=AC′．
∵∠DEC=60°，AC=BC，
∴∠CEB=120°，AC′=BC．
∴∠AD′C=∠CEB，∠C′AD′=∠B．
在△AC′D′和△BCE中$\left\{\begin{array}{l}{∠AD′C=∠CEB}\\{∠C′AD′=∠B}\\{AC′=BC}\end{array}\right.$，
∴△AC′D′≌△BCE（SAS）．
∴D′C′=CE．
（3）当m=90°时，如图1所示：

∵∠ACB=90°，∠BAC′=90°，
∴∠ACB+∠BAC′=180°．
∴AC′∥BC．
∵AC′=AC，AC=BC，
∴AC′=BC．
∴四边形ACBC′为平行四边形．
如图2所示：当m=270°时．

当m=270°时，∠C′AC=90°．
∴∠C′AC=∠ACB．
∴AC′=BC．
∵AC′=CB．
∴四边形AC′CB为平行四边形．
综上所述，当m=90°或m=270°时，以A、B、C、C′四点组成的四边形为平行四边形．

点评本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、平行四边形的判定定理、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，证得△AC′D′≌△BCE是解题的关键．

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