Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．给出以下结论：①DG＝DF；②四边形EFDG是菱形；③EG2＝GF×AF；④当AG＝6，EG＝2时，BE的长为，其中正确的编号组合是（　　）

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．

解：∵GE∥DF，

∴∠EGF＝∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，

∴∠DGF＝∠DFG．

∴GD＝DF．故①正确；

∴DG＝GE＝DF＝EF．

∴四边形EFDG为菱形，故②正确；

如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF．

∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴＝，即DF2＝FOAF．

∵FO＝GF，DF＝EG，

∴EG2＝GFAF．故③正确；

如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2＝GFAF，AG＝6，EG＝2，

∴20＝FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40＝0．

解得：FG＝4，FG＝﹣10（舍去）．

∵DF＝GE＝2，AF＝10，

∴AD＝＝4．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴＝，即=，

∴GH＝，

∴BE＝AD﹣GH＝4﹣＝．故④正确．

故选：D．