Question

【题目】足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售为本，销售单价为元.

（1）请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；

（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大？最大利润是多少元？

Answer 1

【答案】（1）（2）当x=52时，w有最大值为2640.

【解析】

（1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨（x-44）元，每天销售量减少10（x-44）本，所以y=300-10（x-44），然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；
（2）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=（x-40）（-10x+740），再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．

（1）由题意得：y=300-10（x-44）=-10x+740，
每本进价40元，且获利不高于30%，即最高价为52元，即x≤52，故：44≤x≤52，
（2）w=（x-40）（-10x+740）=-10（x-57）2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为2640，
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元．