【题目】如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=5,PB=12,PC=13,若将△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,求点P与点P′之间的距离及∠APB的度数.
【答案】解:∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△PAC绕点A逆时针旋转后,得到△P′AB,
∴∠P′AP=∠BAC=60°,AP′=AP,BP′=CP=13,
∴△AP′P为等边三角形,
∴PP′=AP=5,∠APP′=60°,
在△BPP′中,∵PP′=5,BP=12,BP′=13,
∴PP′2+BP2=BP′2 ,
∴△BPP′为直角三角形,∠BPP′=90°,
∴∠APB=∠APP′+∠BPP′=60°+90°=150°.
答:点P与点P′之间的距离为5,∠APB的度数为150°.
【解析】先根据等边三角形的性质得AB=AC,∠BAC=60°,再利用旋转的性质得∠P′AP=∠BAC=60°,AP′=AP,BP′=CP=13,于是可判断△AP′P为等边三角形,得到PP′=AP=5,∠APP′=60°,接着根据勾股定理的逆定理证明△BPP′为直角三角形,且∠BPP′=90°,然后利用∠APB=∠APP′+∠BPP′求出∠APB的度数.
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的逆定理的相关知识,掌握如果三角形的三边长a、b、c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,以及对旋转的性质的理解,了解①旋转后对应的线段长短不变,旋转角度大小不变;②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变;③旋转后物体或图形不变,只是位置变了.
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【题目】一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK,△ACB做了一个探究活动:将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a.
(1)如图1,两个三角尺的重叠部分为△ACM,则重叠部分的面积为 , 周长为;
(2)将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图2,此时重叠部分的面积为 , 周长为;
(3)如果将△MNK绕M旋转到不同于图1,图2的位置,如图3所示,猜想此时重叠部分的面积为多少?并试着加以验证.
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【题目】图中,EB为半圆O的直径,点A在EB的延长线上,AD切半圆O于点D,BC⊥AD于点C,AB=2,半圆O的半径为2,则BC的长为( )
A.2
B.1
C.1.5
D.0.5
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【题目】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形截面的半径,如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)请找出截面的圆心;(不写画法,保留作图痕迹.)
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm,水面最深地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.
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【题目】如图,在中,
,
,点
从
出发以每秒
个单位的速度在线段
上从点
向点
运动,点
同时从
出发以每秒
个单位的速度在线段
上向点
运动,连接
、
,设
、
两点运动时间为
秒
.
(1)运动 秒时,;
(2)运动多少秒时,≌
能成立;
(3)若≌
,
,求
的大小.(用含
的式子表示)
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【题目】如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在D′处.
(1)求证:△AFD′≌△CFB;
(2)求线段BF的长度;
(3)试求出重叠部分△AFC的面积.
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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,点D的坐标是(0, ),以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c恰好经过x轴上A,B两点.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D点,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位.
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