Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+n交x轴于点B，交y轴于点C，点A在x轴负半轴上，其坐标为（-3，0），抛物线y=ax²+bx+5经过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在第一象限的抛物线上，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，交y轴于点E，当DE=2PD时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q（m，7-m）在坐标平面内，连接QE、QP，且QE=

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PQ，求m的值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,解一元二次方程-公式法,勾股定理,平行线分线段成比例

专题：综合题

分析：（1）根据条件易求得点C、点B的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，过点E作EN∥x轴，交DG于点M，交PH于点N，如图1，则有OC∥DG∥PH，根据平行线分线段成比例可得

OG

GH

=

ED

DP

=2，设GH=a，可求得点P的坐标为（3a，5-a），然后把点P的坐标代入抛物线的解析式就可求出点P的坐标；
（3）过点Q作QS⊥y轴于点S，过点P作SQ的垂线，垂足为T，如图2，根据条件“QE=

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PQ”运用勾股定理就可求出m的值．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+5交y轴于点C，
∴C（0，5）．
∵点C在直线y=-x+n上，
∴n=5，
∵直线y=-x+5交x轴于点B，
∴B（5，0）．
∵点A（-3，0），B（5，0）在抛物线y=ax²+bx+5上，
∴

0=9a-3b+5 0=25a+5b+5

，
解得：

a=- 1 3 b= 2 3

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

3

x²+

2

3

x+5．

（2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，
过点E作EN∥x轴，交DG于点M，交PH于点N，如图1，
则有OE=MG=NH，∠CEN=∠DME=∠PNE=90°．
∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，
∵PD⊥BC，
∴∠CED=45°，
∴∠DEN=∠MDE=∠NPE=45°，
∴EM=DM，EN=PN．
∵OC⊥x轴，DG⊥x轴，PH⊥x轴，
∴OC∥DG∥PH，
∴

OG

GH

=

ED

DP

=2，
设GH=a，则OG=2a，OH=3a，
∴DG=5-OG=5-2a，
∴MG=DG-DM=DG-EM=5-2a-2a=5-4a，
∴PH=PN+NH=EN+MG=OH+MG=3a+5-4a=5-a，
∴点P的坐标为（3a，5-a）．
∵点P在抛物线y=-

1

3

x²+

2

3

x+5上，
∴5-a=-

1

3

（3a）²+

2

3

•3a+5，
解得：a₁=0，a₂=1．
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（3，4）．

（3）过点Q作QS⊥y轴于点S，过点P作SQ的垂线，垂足为T，如图2．
在（2）的条件下，OE=MG=5-4a=1，P（3，4），
∵Q（m，7-m），
∴根据勾股定理可得：
QE²=QS²+SE²=m²+（7-m-1）²=2m²-12m+36，
QP²=QT²+PT²=（3-m）²+（7-m-4）²=2m²-12m+18．
∵QE=

10

PQ，
∴QE²=10PQ²，
∴2m²-12m+36=10（2m²-12m+18），
整理得：m²-6m+8=0，
解得m₁=2，m₂=4．
∴m的值为2或4．

点评：本题主要考查了直线与抛物线上点的坐标特征、用待定系数法求二次函数的解析式、平行线分线段成比例、解一元二次方程、勾股定理等知识，运用平行线分线段成比例是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理是解决第（3）小题的关键．