Question

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°

(1)操作并观察，如图，将三角板的45°角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？试写出观察结果．

(2)探索：AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形(即能否有EF²＝AE²＋BF²)？如果能，试加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

解析：操作、观察不是重点，探索、猜测才是整个题目的重点，是难点，也就是说，从操作中获取信息是探索问题的过程中最重要的． 　　(1)中只需在旋转∠ECF的过程中用刻度尺量一量或观察，即可得到． 　　(2)要判断EF2＝AE2＋BF2，思路是把AE、EF、FB搬到一个三角形中，通常用平移、翻折、旋转等方法，本题目利用翻折的方法较简单，使得线段AE、BF相等的线段和EF在出现一个三角形中． 　　解：(1)观察结果是：当45°角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在△ABC内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF． 　　(2)AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下： 　　如图所示，在∠ECF的内部作∠ECG＝∠ACE， 　　使CG＝AC，连结EG，FG， 　　∴△ACE≌△GCE， 　　∴∠A＝∠1，同理∠B＝∠2， 　　∵∠A＋∠B＝90°， 　　∴∠1＋∠2＝90°， 　　∴∠BGF＝90°，EF为斜边．