Question

6．如图，已知抛物线y=x²+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标，对称轴，点C的坐标；
（3）根据图象，写出y＞0时，x的取值范围；
（4）求△ABC面积；
（5）⊙P的半径为2，圆心P在此抛物线上运动，当⊙P与y轴相切时，求圆心P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A、B两点坐标代入即可求出；
（2）将抛物线解析式配成顶点式即可知道顶点坐标和对称轴，配成交点式即可知道C点坐标；
（3）y＞0表示抛物线的图象高于x轴的部分，由图象可直接写出对应的x的取值范；
（4）求出AC、OB即可；
（5）圆与y轴相切，说明圆心到y轴的距离等于半径，圆心到y轴的距离就是P点的横坐标的绝对值；

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx-3a过点A（1，0），B（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b-3a=0}\\{-3a=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=x²+2x-3；
（2）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4=（x+3）（x-1），
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4），对称轴为x=-1，C（-3，0）；
（3）由图象可知：y＞0时，x＜-3或x＞1；
（4）∵A（1，0），C（-3，0），
∴AC=4，
∵OB=3，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×4×3$=6；
（5）设点P的横坐标为，则|x|=2，
当x=-2时，y=-3，
∴P（-2，-3）；
当x=2时，y=5，
∴P（2，5）；
综上所述，圆心P的坐标可以为：（-2，-3）、（2，5）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点式、二次函数的交点式、二次函数的图象性质、三角形面积求法、圆与直线相切的性质等知识点，难度不大．纵观本题五个小问，全部着重考查同学们对基础知识的掌握情况，这就要求同学们对每一个概念、定理、公式、基本结论都要理解透彻，掌握牢固．