Question

1．阅读下列材料并解答：
对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，
即：当n为非负整数时，如果n-$\frac{1}{2}≤x＜n+\frac{1}{2}$，则＜x＞=n．
如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…
试解决下列问题：
（1）填空：＜π＞=3（π为圆周率）；
（2）求满足＜x＞=$\frac{4}{3}$x的所有非负实数x的值；
（3）设n为常数，且为正整数，函数y=x²-x+$\frac{1}{4}$的自变量x在n≤x＜n+1范围内取值时，函数值y为整数的个数记为a；满足＜$\sqrt{k}$＞=n的所有整数k的个数记为b．求证：a=b=2n．

Answer 1

分析 （1）π的十分位为1，应该舍去，所以精确到个位是3；
（2）$\frac{4}{3}$x为整数，设这个整数为k，易得这个整数应在应在k-$\frac{1}{2}$和k+$\frac{1}{2}$之间，包括k-$\frac{1}{2}$，不包括k+$\frac{1}{2}$，求得整数k的值即可求得x的非负实数的值；
（3）易得二次函数的对称轴，那么可求得二次函数的函数值在相应的自变量的范围内取值，进而求得相应的a的个数；利用所给关系式易得$\sqrt{k}$的正整数个数为2n，由此得证．

解答 （1）解：因为π≈3.14，所以四舍五入后的个位数为3．
故答案是：3；

（2）解：∵x≥0，$\frac{4}{3}$x为整数，设$\frac{4}{3}$x=k，k为整数，
则x=$\frac{3}{4}$k，
∴＜$\frac{3}{4}$k＞=k，
∴k-$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{4}$k≤k+$\frac{1}{2}$，k≥0，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$．

（3）证明：∵函数y=x2-x+$\frac{1}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）2，n为整数，
当n≤x＜n+1时，y随x的增大而增大，
∴（n-$\frac{1}{2}$）²≤y＜（n+1-$\frac{1}{2}$）²，即（n-$\frac{1}{2}$）²≤y＜（n+$\frac{1}{2}$）²，①
∴n²-n+$\frac{1}{4}$≤y＜n²+n+$\frac{1}{4}$，
∵y为整数，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n个y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜$\sqrt{k}$＞=n，
则n-$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{k}$＜n+$\frac{1}{2}$，
∴（n-$\frac{1}{2}$）²≤k＜（n+$\frac{1}{2}$）²，③
比较①，②，③得：a=b=2n．

点评 本题考查了二次函数综合题．解决本题的关键是理解：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n-$\frac{1}{2}$≤x＜n+$\frac{1}{2}$，则＜x＞=n．