Question

16．如图，已知线段AB长度是4，以AB为边作正方形ABCD，动点M，N在正方形的边上运动，且MN=3，如果点M从点A出发，沿着A→B→C→D→A的路线，向点A运动，则点M从点A运动一周回到点A的运动过程中，MN的中点P所经过的路线长度是3π+4．

Answer 1

分析 当点M在AB上时，设点M的坐标为（m，0）．由勾股定理得到点N的坐标，然后由中点坐标公式得到点P的运动轨迹的函数关系式，从而得到此时点P的运动路径是以A为圆心以$\frac{3}{2}$为半径的圆周长的$\frac{1}{4}$，当3＜m≤4时，点P的轨迹为线段EF，最后可知点P运动的轨迹为3π+4．

解答 解：当点M在AB上时，设点M的坐标为（m，0）．
在Rt△MNA中，AN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{9-{m}^{2}}$，则点N的坐标为（0，$\sqrt{9-{m}^{2}}$）．
由线段的中点坐标公式得：点P的坐标为（$\frac{m}{2}$，$\frac{\sqrt{9-{m}^{2}}}{2}$）．
∵x=$\frac{m}{2}$，y=$\frac{\sqrt{9-{m}^{2}}}{2}$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{9}{4}$．
∴当0≤m≤3时，点P的轨迹为以A为圆心以$\frac{3}{2}$为半径的圆周长的$\frac{1}{4}$．
当3＜m≤4时，点P的轨迹为线段EF．
同理可得到点M在BC、CD、DA上运动时，点P的轨迹．
点M从点A运动一周回到点A的运动过程中，MN的中点P所经过的路线如图所示：

∴点P所经过的路线=（$\frac{1}{4}$×2$π×\frac{3}{2}$+1）×4=3π+4．
故答案为：3π+4．

点评 本题主要考查的是点的轨迹问题，求得当0≤m≤3时，点P的运动轨迹的函数关系式是解题的关键．